Moduli (algebra)

Abstraktissa algebrassa moduli on vektoriavaruuden yleistys. Ainoa ero on, että kerroinkunnan (eli "skalaarien") ei tarvitsekaan olla kunta: riittää, että se on rengas.

Erona on siis se, että skalaarien kertolaskun ei tarvitse olla vaihdannainen, nollasta poikkeavillakaan skalaareilla ei tarvitse olla käänteisalkiota, ja skalaarien joukko saa olla jopa $\{0\}$ (ks. rengas).

Motivointi

Vektoriavaruudessa skalaarit muodostavat kunnan. Niillä voi kertoa vektoreita. Kertolasku toteuttaa tietyt laskutoimituslait, esimerkiksi osittelulait.

Esimerkiksi vektoriavaruuden $\mathbb {R} ^{2}$ tai $\mathbb {R} ^{n}$ skalaarit ovat reaalilukuja. Niillä voi kertoa kyseisen vektorin, jolloin sen suunta säilyy mutta pituus moninkertaistuu skalaarin verran. Esimerkiksi $3\cdot (2,3)=(6,9)$ .

Modulissa riittää, että skalaarit muodostavat renkaan, joten moduli on merkittävä yleistys vektoriavaruudesta. Tämä on ainoa ero; muut vasemman modulin ehdot ovat samat: alla esitetyt neljä skalaarikertolaskun aksioomaa ja se, että skalaarikerrottavien olioiden joukko (vektoriavaruus tai moduli) on Abelin ryhmä.

Moduleiden teoria perustuu paljolti siihen, että suuri osa vektoriavaruuden tuloksista on saatu yleistettyä moduleille. Skalaarikunnan tilalla voi siis olla esimerkiksi pääideaalirengas. Kaikkia vektoriavaruuden tulokset eivät kuitenkaan päde kaikille moduleille. Esimerkiksi kaikilla moduleilla ei ole kantaa, ja osa niistäkin, joilla on, kuten vapaat modulit, käyttäytyvät joiltain osin merkittävästi eri lailla kuin vektoriavaruudet.

Modulit ovat keskeinen käsite kommutatiivisessa algebrassa, joka taas on tärkeä matematiikan osa-alue esimerkiksi:

Määritelmä

Renkaan R vasen moduli eli vasemmanpuolinen moduli sisältää Abelin ryhmän (M,+) ja skalaarikertolaskun R × M → M, jota merkitään rx, missä r kuuluu R:ään ja x kuuluu M:ään siten, että kaikilla R:n alkioilla r,s ja M:n alkioilla x,y on voimassa

r(x+y) = rx+ry
(r+s)x = rx+sx
(rs)x = r(sx)
1x = x

Tätä voidaan myös sanoa M:n vasemmaksi R-moduliksi tai _RM. Oikeanpuolisessa modulissa ehto 3. korvataan ehdolla (sr)x = r(sx).

Toisin kuin tässä artikkelissa oletetaan, kirjallisuudessa ei aina vaadita renkaiden olevan ykkösellisiä. Tällöin myöskään moduliehtojen ehtoa 4 ei tietenkään vaadita. Jos modulissa on kuitenkin yksikköalkio, sanotaan, että moduli on ykkösellinen.

Bimoduli on moduli joka on sekä vasen, että oikea moduli. Jos rengas R on kommutatiivinen, on vasen R-moduli sama kuin oikea R-moduli. Tällöin molempia moduleita kutsutaan yksinkertaisesti nimellä R-moduli.

Esimerkkejä

Jos K on kunta, ovat K-modulit ja K-vektoriavaruudet sama asia.
Jos $R=\{0\}$ eli $1=0$ , niin $M=\{0\}$ .
Z-modulit ja Abelin ryhmät vastaavat toisiaan. Tämä tarkoittaa sitä, että jokainen Abelin ryhmä on kokonaislukujen Z renkaan moduli yksikäsitteisellä tavalla. Olkoon n > 0 ja nx = x + x + ... + x (n summattavaa), 0x = 0, ja (−n)x = −(nx).
Jos R on mielivaltainen rengas ja n on luonnollinen luku, on karteesinen tulo Rⁿ sekä R:n vasen, että oikea moduli, missä laskutoimitukset määritellään komponenteittain. Tapaus n=0 on triviaali R-moduli {0}, jossa on vain neutraalialkio. Tällöin moduli on vapaa ja luku n on vapaan modulin aste.
Jos X on sileä monisto, sileät funktiot X:ltä reaaliluvuille muodostavat renkaan C^∞(X). Kaikkien X:n sileiden vektorikenttien joukko muodostaa modulin avaruudessa C^∞(X), kuten myös tensorikentät ja differentiaalimuodot.
Reaalikertoimiset nxn-matriisit muodostavat renkaan R ja euklidinen avaruus Rⁿ on tämän renkaan suhteen vasen moduli, missä modulin laskutoimitus on määritelty matriisikertolaskun avulla.
Jos R on mielivaltainen rengas ja I on mielivaltainen R:n ideaali, on I R:n vasen moduli. Vastaavasti voidaan määritellä oikea moduli.

Katso myös

Vektoriavaruus

Lähteet

F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2 nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3

Kirjallisuutta

Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0