Lämpöyhtälö

Lämpöyhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa lämmön johtumista aineessa. Yksinkertaisimmillaan yhtälö tiivistyy muotoon

$u_{t}=\alpha \Delta u$,

joka on tyypillinen esimerkki parabolisesta osittaisdifferentiaaliyhtälöstä.

Lämpöyhtälön johtaminen

Tarkastellaan avointa avaruuden osajoukkoa $\Omega$, ja olkoon $u(x,t)$ lämpötila, $e(x,t)$ aineen sisäenergia (J/kg) ja ${\vec {q}}$ lämpövuo (J/(m^2 s)). Energia tarkasteltavassa alueessa voidaan kirjoittaa

$E=\int _{\Omega }e(x,t)\rho (x)dx$,

missä $\rho$ on aineen tiheys. Toisaalta energiaa poistuu alueesta nopeudella

$\iint _{\partial \Omega }{\vec {q}}\cdot ndS$,

missä $n$ on alueen yksikköulkonormaali. Gaussin divergenssilauseen avulla jälkimmäinen lauseke voidaan kirjoittaa muotoon

$\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {q}}dx$,

ja energian säilymisestä saadaan tällöin yhtälö

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{\Omega }e(x,t)\rho (x)dx+\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {q}}dx=0$.

Koska nyt derivointi voidaan viedä integraalin sisään ja yhtälö pätee mielivaltaiselle alueelle, saadaan yhtälö

$\rho (x)e_{t}(x,t)+\nabla \cdot {\vec {q}}=0$.

Toistaiseksi tarkasteluissa ei ole käytetty fysiikkaa lainkaan. Fourierin laki kertoo kuitenkin lämpövuon ja lämpötilan välillä olevan yhteyden

${\vec {q}}=-k(x)\nabla u(x,t)$,

joka kertoo lämmön virtaavan siihen suuntaan, missä lämpötila laskee nopeimmin. Lisäksi aineen sisäenergian ja lämpötilan välillä on yhteys

$e(x,t)=c(x)u(x,t)$,

missä $c$ on aineen ominaislämpökapasiteetti (J/(kgK)). Sijoittamalla nämä aiemmin saatuun yhtälöön saadaan nyt

$\rho (x)c(x)u_{t}(x,t)+\nabla \cdot (-k(x)\nabla u(x,t))=0$.

Jos Fourierin lain kerroin $k$ (lämmönjohtumisvakio) ei riipu paikasta, saadaan

$\rho (x)c(x)u_{t}(x,t)=k\Delta u(x,t)$,

missä ${\textstyle \Delta }$ on Laplacen operaattori.