Eulerin menetelmä

Tutkittavan sinisen kuvaajan yhtälö on tuntematon. Punainen kuvaaja on Eulerin menetelmän avulla tehty approksimaatio sinisestä kuvaajasta.

Eulerin menetelmällä tarkoitetaan numeerisessa analyysissä Leonhard Eulerin mukaan nimettyä menetelmää differentiaaliyhtälöiden alkuarvo-ongelmien ratkaisuun. Se on yksinkertaisin numeerisista integrointimenetelmistä, mutta siitä huolimatta menetelmä on tärkeä. Sen kautta on johdettu monet paremmista menetelmistä ja sen ymmärtäminen on niiden perusta.

Johtaminen

Eulerin menetelmä johdetaan derivaatan määritelmästä

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

Nyt ei kuitenkaan anneta muuttujan h lähestyä nollaa, vaan pidetään se pienenä. Näin saadaan yhtälöstä

$f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},$

jossa h tarkoittaa menetelmässä käytettyä askelta. Olkoot alkuarvo-ongelmamme muotoa

$y'(t)=F(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.$

Nyt siis funktiolla F tarkoitetaan muuttujista t ja y(t) koostuvaa lauseketta, joka tulee ylläolevan yhtälön oikeaksi puoleksi. Määritetään nyt, että Eulerin menetelmällä askel ajanhetkestä t_n ajanhetkeen t_{n + 1} voidaan laskea kaavalla

$y_{n+1}=y_{n}+h\cdot F(t_{n},y_{n})$.

Virhe

Eulerin menetelmän virhe voidaan laskea selvittämällä Taylorin sarja muuttujalle y. Tulkitsemalla ylläolevaa tulosta voidaan menetelmä merkitä muodossa

$y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hy'(t_{0}).$

Tässä on kaksi ensimmäistä termiä Taylorin sarjasta

$y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hy'(t_{0})+{\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+{\mathcal {O}}(h^{3})$

ja yhtälöiden välinen virhe saadaan siis suuruudeltaan vastaamaan termejä

${\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+{\mathcal {O}}(h^{3}).$

Nähdään, että käytettäessä pientä askelen h arvoa on menetelmän virheessä dominoiva termi suhteessa verrannollinen h²:n. Ratkaistessa menetelmällä alkuarvotehtävää on tarvittavien askelien määrä kääntäen verrannollinen askeleeseen h. Näin on pääteltävissä, että kokonaisvirhe Eulerin menetelmässä on verrannollinen askeleeseen h (virhe askeleessa kertaa askelien määrä). Eulerin menetelmää kutsutaankin ensimmäisen kertaluokan menetelmäksi.

Tarkkuus on parannettavissa ottamalla huomioon Taylorin sarjasta lisää termejä. Tämä kuitenkin saattaa olla hankalaa, sillä niitä varten pitäisi ratkaista muuttujan y(t) derivaattoja. Tämän takia onkin kehitetty useaa ajankohtaa alkuarvoinaan käyttäviä multistep-menetelmiä tai yhden ajanhetken derivaattaa useammassa pisteessä approksimoivia menetelmiä kuten esim. Runge-Kutta-menetelmät.

Kirjallisuutta

• Kaleva, Osmo: Numeerinen analyysi. (Opintomoniste 163) Tampere: TTKK, 1993. ISBN 951-721-941-5