Euklidinen metriikka

Matematiikassa euklidinen metriikka tai euklidinen etäisyys on tavallinen tapa määritellä etäisyys kahden pisteen välillä. Kahden eri pisteen välinen etäisyys on positiivinen reaaliluku.

Määritelmä

Euklidinen etäisyys pisteiden $P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})\,$ ja $Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,$ välillä n-ulotteisessa avaruudessa on

${\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.$

Yksiulotteisessa avaruudessa

Pisteiden $P=(p_{x})\,$ ja $Q=(q_{x})\,$ etäisyys on

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|.$

Kaksiulotteisessa avaruudessa

Pisteiden $P=(p_{x},p_{y})\,$ ja $Q=(q_{x},q_{y})\,$ etäisyys on

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}.$

Vaihtoehtoisesti, napakoordinaatistossa pisteiden $P=(r_{1},\theta _{1})\,$ ja $Q=(r_{2},\theta _{2})\,$ etäisyys on:

${\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.$

Kolmiulotteisessa avaruudessa

Pisteiden $P=(p_{x},p_{y},p_{z})\,$ ja $Q=(q_{x},q_{y},q_{z})\,$ etäisyys on

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.$

Katso myös

• Metriikka
• Euklidinen geometria
• Ulottuvuus