Algebrallinen lukuteoria

Algebrallinen lukuteoria on lukuteorian osa-alue, joka tutkii algebrallisia lukuja. Nämä luvut ovat rationaalikertoimisen polynomiyhtälön juurten muodostama joukko. Algebrallinen lukukunta on rationaalilukujen äärellinen (ja siten algebrallinen) kuntalaajennus. Näissä kunnissa alkioita kutsutaan algebrallisiksi luvuiksi. Algebralliset kokonaisluvut käyttäytyvät jossain määrin kokonaislukujen tapaan, mutta esimerkiksi tekijöihinjako ei ole algebrallisten lukujen kohdalla yksikäsitteistä. Algebrallinen lukuteoria jakaantuu esimerkiksi Galois'n teorian, ryhmien kohomologiaan, luokkakuntateoriaan, ryhmien esitysteoriaan ja L-funktioihin.

Moni lukuteorian ongelman tutkiminen helpottuu kun lausekkeista otetaan jakojäännös modulo p, missä p on alkuluku. Tällöin ongelmaa voidaan tutkia äärellisissä kunnissa. Tätä prosessia kutsutaan lokalisoinniksi ja lokalisoinnin avulla saadaan määriteltyä p-adiset luvut. Lokalisointi ja p-adiset luvut ovat tärkeä algebrallisen lukuteorian osa-alue.