Aaltoyhtälö

Pulssi etenemässä nauhassa, jonka molemmat päät ovat kiinnitettyjä.

Aaltoyhtälö on hyperbolinen toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa etenevää harmonista aaltoa. Yhtälö saa eri muotoja riippuen siitä, kuinka aaltoa välitetään ja mikä on väliaineena.

Kaikki aallot eivät ole sinimuotoisia eli sinusoidisia. Yksi esimerkki epäsinusoidisesta aallosta on pulssi, joka kulkee x-akselin suuntaan osoittavaa narua pitkin nopeudella c. Pulssin korkeus maasta on φ. Matka, jonka pulssi kulkee ajanhetken t ja ajanhetken 0 välillä on ct.

Yksiulotteisena tämä yhtälö saa muodon:

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}.$

Tämän yhtälön yleinen ratkaisu, aaltofunktio, (Jean le Rond d'Alembertin antamassa muodossa) on

$\phi (x,t)=F(x-vt)+E(x+vt)\,$.

Tässä $F$ ja $E$ voidaan ajatella kahdeksi pulssiksi, jotka etenevät alas narua, toinen +x ja toinen -x suuntaan. Jos korvaamme ylemmässä yhtälössä x:n tilalle suunnat x, y, z, saamme kolmessa ulottuvuudessa etenevän aallon yhtälön

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}\phi$,

missä Laplacen operaattori

$\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$.

Funktio $\phi (x,t)$ esittää aaltoliikkeessä värähtelevää suuretta, joka voi olla esimerkiksi pinnan korkeus veden pinnalla etenevissä aalloissa, paine ääniaalloissa tai sähkökentän voimakkuus sähkömagneettisissa aalloissa. Yhtälössä esiintyvä parametri v on aaltoliikkeen nopeus, sähkömagneettisten aaltojen tapauksessa valonnopeus c.

Epähomogeeninen aaltoyhtälö voi aiheuttaa massan liikettä.

Eräs tunnettu esimerkki aaltoyhtälöstä on Schrödingerin yhtälö, joka kuvaa hiukkasen aaltomaista käyttäytymistä kvanttimekaniikassa. Ratkaisuja tähän yhtälöön ovat aaltofunktiot, joilla voidaan kuvata hiukkasen todennäköisyysjakaumaa.