p-rühm

p-rühm ehk primaarne rühm ehk p-primaarne rühm on rühm, mille kõigi elementide järk võrdub fikseeritud algarvu p mõne naturaalarvulise astendajaga astmega.

Teiste sõnadega, p-rühm on rühm, mille kõik elemendid peale ühikelemendi on p-elemendid, see tähendab elemendid, mille aste astendajaga pⁿ võrdub n mingi positiivse naturaalarvulise väärtuse korral ühikelemendiga 1.

Tähistused

Kui jutt on mitmest p-rühmast, mille puhul p väärtus võib olla erinev, siis võidakse kokku leppida kasutada teisi tähti ning rääkida ka näiteks q-, r- ja s-rühmadest. Välditakse n-tähte, et ei tekiks segiajamist n-rühmaga.

p konkreetse väärtuse puhul võib tähise p sellega asendada ning rääkida näiteks 2-rühmast või 3-rühmast.

Lõplikud p-rühmad

 Pikemalt artiklis Lõplik p-rühm

Lõplike rühmade teoorias on tegeldud lõplike rühmade kirjeldamisega lõplike p-rühmade kaudu ning lihtsate lõplike rühmade kirjeldamisega 2-rühmade kaudu.

Lõplikke p-rühmi on püütud kirjeldada näiteks Abeli alamrühmade järgi või p-automorfismide kaudu.

• Tsükliline rühm C_p (kus p on algarv) on Abeli p-rühm.
• Otsekorrutis C_p × C_p (kus p on algarv) on Abeli p-rühm. Ta ei ole isomorfne rühmaga C_p².
• Dieedrirühm D₈ on mitte-Abeli 2-rühm.

Näiteks tsükliline rühm C₆ ei ole tsükliline rühm, sest ta sisaldab 6. järku elemente, aga 6 ei ole algarvu aste.

Ka sümmeetriline rühm S₃ ei ole p-rühm, sest ta sisaldab 2. ja 3. järgu elemente, aga need järgud ei ole ühe ja sellesama algarvu astmed.

Lõpmatud p-rühmad

p-rühmi on kasutatud Burnside'i probleemi lahendamisel.

On tõestatud, et lokaalselt lõplik p-rühm ei ole lihtne.

Teoreemid lõplike p-rühmade kohta ei pruugi olla üldjuhule ülekantavad. Näiteks on olemas lokaalselt lõplik p-rühm, millel pole mittetriviaalseid Abeli normaalseid alamrühmi ning lokaalselt lõplik p-rühm, mis langeb kokku oma kommutandiga.

Vaata ka

• lõplik p-rühm
• lokaalselt lõplik p-rühm
• p-alamrühm
• π-rühm
• lõplikkuse tingimusega rühm