Eralduvusaksioomid

Et topoloogiline ruum on väga üldine mõiste, piirdutakse topoloogias ja topoloogiaga seotud matemaatikaharudes sageli teatud kitsendusi rahuldavate topoloogiliste ruumide vaatlemisega. Eralduvusaksioomid on ühed niisugused kitsendused.

Eralduvusaksioomid on aksioomid selles mõttes, et kui neid lisada topoloogilise ruumi definitsioonis topoloogilise ruumi aksioomidele, saaksime uue, kitsama topoloogilise ruumi mõiste. Tänapäevase lähenemise kohaselt kasutatakse väljendit "topoloogiline ruum" kõikjal vaid ühes tähenduses (nii nagu ta on määratletud artiklis Topoloogiline ruum) ning kõneldakse eri liiki topoloogilistest ruumidest. Nimetus "eralduvusaksioom" on aga vanadest aegadest alles jäänud. Paljusid eralduvusaksioome tähistatakse T-tähega, mis tuleb saksakeelsest sõnast Trennung ('eraldamine').

Eralduvusaksioomides ettetulevate mõistete täpne tähendus on aja jooksul muutunud. Seepärast tuleb vanemat kirjandust lugedes tähele panna, kuidas antud autor on need mõisted määratlenud.

Definitsioonid

Topoloogilist ruumi $(X,\tau )$ nimetatakse

• T₀-ruumiks, kui mistahes kaks punkti $x_{1},x_{2}\in X,\ x_{1}\neq x_{2}$ on topoloogiliselt eristatavad, s. t. punktil $x_{1}$ leidub ümbrus $O_{1}$ nii, et $x_{2}\not \in O_{1}$, või leidub punktil $x_{2}$ ümbrus $O_{2}$ nii, et $x_{1}\not \in O_{2}$;

• T₁-ruumiks, kui mistahes kahe punkti $x_{1},x_{2}\in X,\ x_{1}\neq x_{2}$ korral leiduvad punkti $x_{1}$ ümbrus $O_{1}$ ja punkti $x_{2}$ ümbrus $O_{2}$ nii, et $x_{2}\not \in O_{1}$ ning $x_{1}\not \in O_{2}$;

• T₂-ruumiks ehk Hausdorffi ruumiks ehk eralduvaks ruumiks, kui mistahes kahe punkti $x_{1},x_{2}\in X,\ x_{1}\neq x_{2}$ korral leiduvad punkti $x_{1}$ ümbrus $O_{1}$ ja punkti $x_{2}$ ümbrus $O_{2}$ nii, et $O_{1}\cap O_{2}=\emptyset$;

• regulaarseks, kui mistahes $\tau$-kinnise alamhulga $U\subset X$ ning mistahes punkti $x\in X\setminus U$ korral leiduvad hulga $U$ ümbrus $O_{1}$ ja punkti $x$ ümbrus $O_{2}$ nii, et $O_{1}\cap O_{2}=\emptyset$;

• normaalseks, kui mistahes kahe lõikumatu $\tau$-kinnise alamhulga $U_{1},U_{2}\subset X$ korral leiduvad hulga $U_{1}$ ümbrus $O_{1}$ ja hulga $U_{2}$ ümbrus $O_{2}$ nii, et $O_{1}\cap O_{2}=\emptyset$;

• täielikult regulaarseks, kui mistahes $\tau$-kinnise alamhulga $U\subset X$ ning mistahes punkti $x\in X\setminus U$ korral leidub pidev kujutus $f:X\to [0,1]$ nii, et $f(U)=\{0\}$ ja $f(x)=1$.