Anexo:Cálculo de la densidad del agua del mar

El agua del mar tiene densidades distintas en función de varios factores como son la temperatura, la salinidad o la presión atmosférica

Fórmula de la UNESCO

La ecuación de la densidad del agua de mar, según UNESCO (1983) es la siguiente:

$\rho (s,t,p)={\dfrac {\rho (s,t,0)}{1-{\dfrac {p}{K_{t}(s,t,p)}}}}$

Donde:

$\rho (s,t,0)=A+Bs+Cs^{\frac {3}{2}}+Ds^{2}$

Y se define el módulo de compresiblidad secante K_t como:

$K_{t}(s,t,p)=E+Fs+Gs^{\frac {3}{2}}+(H+Is+Js^{\frac {3}{2}})p+(M+Ns)p^{2}$

Con A, B, C, D, E, F, G, H I, J, M, N polinomios, los cuales se pueden generar de manera compacta, usando el producto punto con el vector canónico de los polinomios de T, hasta el quinto grado:
Entonces, queda como:
$A={\begin{bmatrix}999.8425\\6.7939\cdot 10^{-2}\\-9.0952\cdot 10^{-3}\\1.0016\cdot 10^{-4}\\-1.12\cdot 10^{-6}\\6.53\cdot 10^{-9}\end{bmatrix}}\qquad \cdot {\begin{bmatrix}T^{0}\\T^{1}\\T^{2}\\T^{3}\\T^{4}\\T^{5}\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}8.2449\cdot 10^{-1}\\-4.0899\cdot 10^{-3}\\7.6438\cdot 10^{-5}\\-8.2467\cdot 10^{-7}\\5.3875\cdot 10^{-9}\\0\end{bmatrix}}\qquad \cdot {\begin{bmatrix}T^{0}\\T^{1}\\T^{2}\\T^{3}\\T^{4}\\T^{5}\end{bmatrix}},C={\begin{bmatrix}-5.7246\cdot 10^{-3}\\1.0227\cdot 10^{-4}\\-1.6546\cdot 10^{-6}\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad \cdot {\begin{bmatrix}T^{0}\\T^{1}\\T^{2}\\T^{3}\\T^{4}\\T^{5}\end{bmatrix}}$

$D={\begin{bmatrix}4.8314\cdot 10^{-4}\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad \cdot {\begin{bmatrix}T^{0}\\T^{1}\\T^{2}\\T^{3}\\T^{4}\\T^{5}\end{bmatrix}},E={\begin{bmatrix}19652.21\\148.4206\\-2.3271\\1.3604\cdot 10^{-2}\\-5.1552\cdot 10^{-5}\\0\end{bmatrix}}\qquad \cdot {\begin{bmatrix}T^{0}\\T^{1}\\T^{2}\\T^{3}\\T^{4}\\T^{5}\end{bmatrix}},F={\begin{bmatrix}54.6746\\-0.6034\\1.0998\cdot 10^{-2}\\-6.1670\cdot 10^{-5}\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad \cdot {\begin{bmatrix}T^{0}\\T^{1}\\T^{2}\\T^{3}\\T^{4}\\T^{5}\end{bmatrix}}$

$G={\begin{bmatrix}7.944\cdot 10^{-2}\\1.6483\cdot 10^{-2}\\-5.3009\cdot 10^{-4}\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad \cdot {\begin{bmatrix}T^{0}\\T^{1}\\T^{2}\\T^{3}\\T^{4}\\T^{5}\end{bmatrix}},H={\begin{bmatrix}3.2399\\1.4371\cdot 10^{-3}\\1.1609\cdot 10^{-4}\\-5.7790\cdot 10^{-7}\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad \cdot {\begin{bmatrix}T^{0}\\T^{1}\\T^{2}\\T^{3}\\T^{4}\\T^{5}\end{bmatrix}},I={\begin{bmatrix}2.2838\cdot 10^{-3}\\-1.0981\cdot 10^{-5}\\-1.6078\cdot 10^{-6}\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad \cdot {\begin{bmatrix}T^{0}\\T^{1}\\T^{2}\\T^{3}\\T^{4}\\T^{5}\end{bmatrix}}$

$J={\begin{bmatrix}1.9107\cdot 10^{-4}\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad \cdot {\begin{bmatrix}T^{0}\\T^{1}\\T^{2}\\T^{3}\\T^{4}\\T^{5}\end{bmatrix}},M={\begin{bmatrix}8.5093\cdot 10^{-5}\\-6.1229\cdot 10^{-6}\\5.2787\cdot 10^{-7}\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad \cdot {\begin{bmatrix}T^{0}\\T^{1}\\T^{2}\\T^{3}\\T^{4}\\T^{5}\end{bmatrix}},N={\begin{bmatrix}-9.9348\cdot 10^{-7}\\2.0816\cdot 10^{-8}\\9.1697\cdot 10^{-10}\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad \cdot {\begin{bmatrix}T^{0}\\T^{1}\\T^{2}\\T^{3}\\T^{4}\\T^{5}\end{bmatrix}}$
Donde la Salinidad se mide en PSU, la Temperatura °C y Presión en bar.

Puede resultar tedioso escribir esto en un software, por tanto, escrito en un código fuente de Octave o MATLAB, queda así programado.

%% Nota: Requiere los siguientes dos archivos en el mismo directorio de trabajo

%% Inicio del archivo 'rho.m'
function rho = rho(T,s,p)
% Función Densidad del océano, la cual la calcula a partir de T(°C), s(psu) y p(bar)
%   La función rho(T,s,p) calcula la densidad del agua de mar
%   a partir de la aproximación empírica de UNESCO del año 1981
%   Utilice T(Celsius), s(psu), p(bar)
%   Salida en unidades SI [kg/m^3]
base = [T^(0) T^(1) T^(2) T^(3) T^(4) T^(5)];
A = [999.8425 6.7939e-2 -9.0952e-3 1.0016e-4 -1.12e-6 6.53e-9] * base';
B = [8.2449e-1 -4.0899e-3 7.6438e-5 -8.2467e-7 5.3875e-9 0] * base';
C = [-5.7246e-3 1.0227e-4 -1.6546e-6 0 0 0] * base';
D = [4.8314e-4 0 0 0 0 0] * base';
if p == 0
	rho = A + B*s + C*s^(1.5) + D*s^(2);
else
	rho = (A + B*s + C*s^(1.5) + D*s^(2))/(1-(p / Kt(T,s,p)));
end

%% Fin del archivo

%½ Inicio del archivo 'Kt.m'

function Kt = Kt(T,s,p)
% Función Módulo de Compresibilidad Secante
% Calcula el polinomio usando los parámetros entregados, y los envía a la función rho(T,s,p)
base2 = [T^(0) T^(1) T^(2) T^(3) T^(4) T^(5)];
E = [19652.21 148.4206 -2.3271 1.3604e-2 -5.1552e-5 0] * base2';
F = [54.6746 -0.6034 1.0998e-2 -6.1670e-5 0 0] * base2';
G = [7.944e-2 1.6483e-2 -5.3009e-4 0 0 0] * base2';
H = [3.2399 1.4371e-3 1.1609e-4 -5.7790e-7 0 0] * base2';
I = [2.2838e-3 -1.0981e-5 -1.6078e-6 0 0 0] * base2';
J = [1.9107e-4 0 0 0 0 0] * base2';
M = [8.5093e-5 -6.1229e-6 5.2787e-7 0 0 0] * base2';
N = [-9.9348e-7 2.0816e-8 9.1697e-10 0 0 0] * base2';
Kt = E + F*s + G*s^(1.5) + (H + I*s + J*s^(1.5))*p + (M + N*s)*p^(2);

%% Fin del archivo

La densidad del agua de mar depende de las tres variables: Salinidad (s), Temperatura (t) y Presión (p). Para simbolizar la densidad se emplea generalmente la letra griega ρ(rho) y para indicar que es función de las tres variables se escribe $\rho (s,T,p)$. El valor numérico de la densidad del agua de mar en su ambiente natural varía solamente a partir del tercer decimal y, para economizar espacio y trabajo, así como para tener una visión mejor del valor, se define otra cantidad simbolizada por la letra griega σ(Sigma) mediante la siguiente expresión.

$\sigma (s,T,p)=(\rho (s,T,p)-1)*1000$

Por ejemplo, a la densidad $\rho (s,T,p)$ =1,02743 le corresponde el valor $\sigma (s,T,p)$=27,43.

Enlaces externos

• Algorithms for computation of fundamentals properties of seawater, UNESCO technical papers in marine science Num. 44 del 1983, páginas 15 y siguientes, [1]