Rilatumo de Poisson

Ortangula specimeno je distiro

Ortangula specimeno je kunpremo

En mekaniko, rilatumo de Poisson "ν", estas la rilatumo, ĉe specimena objekto streĉita, de la transversa kuntiro aŭ tensio (perpendikulare al la aplikita ŝarĝo), al la aksa vastigo aŭ tensio (direkte al la aplikita ŝarĝo).

Ĝi estas nomita laŭ la fizikisto Siméon Poisson.

Kiam specimeno de materialo estas streĉita en unu direkto, por plejparto de materialoj la specimeno strebas malpligrandiĝi en la aliaj du direktoj perpendikularaj al la direkto de streĉo. Male, kiam specimeno estas kunpremita en unu direkto, ĝi kutime strebas al elvolvi en la aliaj du direktoj. Ĉi tio estas nomata kiel la efiko de Poisson. La rilatumo de Poisson ν (nuo) estas mezuro de la efiko de Poisson.

Komparo de la du formuloj, unu por malgrandaj malformigadoj, alia por grandaj malformigadoj

Se vergo kun diametro (larĝo aŭ dikeco) d kaj longo L estas ŝargita tiel ke ĝia longo estas ŝanĝita je ΔL tiam ĝia diametro d estas ŝanĝita je:

$\Delta d=-d\cdot \nu {{\Delta L} \over L}$

La formulo pli supre estas vera nur ĉe malgrandaj malformigadoj; se malformigadoj estas grandaj tiam jena pli preciza formulo povas esti uzata:

$\Delta d=-d\cdot \left(1-{\left(1+{{\Delta L} \over L}\right)}^{-\nu }\right)$

kie

d estas la originala diametro

Δd estas la ŝanĝo de diametro

L estas la originala longo, antaŭ streĉo

ΔL estas la ŝanĝo de longo

Se la rilatumo de Poisson kaj ΔL estas pozitiva do Δd estas negativa ĉar la diametro malpligrandiĝas kun pligrandiĝo de longo.

Kemia strukturo de materialoj kutima (maldekstre) kaj kun negativa rilatumo de Poisson (dekstre)

Sur la molekula nivelo, efiko de Poisson estas kaŭzita per malgrandaj delokigoj de molekuloj. La distira streĉado de molekulaj ligoj en la materiala krado en la streĉa direkto, ĉar parto de ligoj estas diagonale-orientitaj, donas mallongiĝon en la aliaj direktoj.

La rilatumo de Poisson de stabila, izotropa, lineara elasta materialo ne povas esti malpli granda ol -1 aŭ pli granda ol 1/2 pro la bezono ke la modulo de Young, la tonda modulo kaj ampleksa modulo havu pozitivajn valorojn. Plejparto de materialoj havas rilatumon de Poisson inter 0 kaj 1/2. Perfekte nekunpremebla materialo (kun neŝanĝebla volumeno) havas rilatumon de Poisson 1/2. Plejparto de ŝtaloj kaj rigidaj polimeroj kiam estas uzata en iliaj dizajnaj limigoj (pli sube de la limigo de elasteco) havas valorojn de proksimume 0,3, pligrandiĝanta al 0,5 por plasta malformigado (kiu okazas plejparte je konstanta volumeno). Kaŭĉuko havas rilatumon de Poisson de preskaŭ 0,5. Korko havas rilatumon de Poisson proksiman al 0, ĝi ne donas flankan elvolvaĵo kiam estas kunpremita. Iuj materialoj, plejparte polimeraj ŝaŭmoj, havas negativan rilatumon de Poisson; se ĉi tiuj materialoj estas streĉata en unu direkto, ili plidikiĝas en perpendikularaj direktoj.

Ŝanĝo de volumeno

La relativa ŝanĝo de volumeno ΔV/V pro la streĉo de la materialo estas (por malgrandaj malformigadoj):

${\frac {\Delta V}{V}}=(1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}$

kie

V estas la originala materiala volumeno;

ΔV estas la ŝanĝo de materiala volumeno;

L estas la originala longo, antaŭ streĉo;

ΔL estas la ŝanĝo de longo.

Estu kubo el izotropa materialo, kiu havas komencan volumenon V kaj lateron L. Aksa tensio donas novajn dimensioj al la figuro: L_b laŭlonge kaj L_t laŭlarĝe de la tensio. Tiam ΔL=L_b-L

Per la rilatumo de Poisson estas interrilato inter ĉi tiuj novaj dimensioj:

${\frac {L_{t}-L}{L}}=-\nu {\frac {L_{b}-L}{L}}$

$L_{t}=L-\nu \Delta L$

La nova volumeno V_n=V+ΔV de la kubo estas:

$V_{n}=L_{b}L_{t}^{2}$

$V_{n}=(L+\Delta L)(L-\nu \Delta L)^{2}$

Se ΔL estas malgranda, erojn kun ΔL² kaj ΔL³ eblas malatenti kaj tiel evolvante la formulon kaj dividante per V eblas ricevi la supre donitan formulon por ΔV.

Ĝeneraligo de leĝo de Hooke

Por izotropa materialo, la malformigado de materialo direkte al unu koordinata akso estos rezulto ankaŭ de malformigado de la materialo laŭ la aliaj aksoj en tri dimensioj. Por konsideri samtempan streĉon kaj malformigadon je la tri aksoj, eblas ĝeneraligi leĝon de Hooke en tri dimensiojn:

$\varepsilon _{x}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})\right)$

$\varepsilon _{y}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{y}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{z})\right)$

$\varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})\right)$

kie ε_x, ε_y, ε_z estas tensioj direkte al x, y, z aksoj respektive;

σ_x, σ_y, σ_z estas streĉoj direkte al x, y, z aksoj respektive;

E estas la modulo de Young (la sama en ĉiuj direktoj por izotropaj materialoj);

ν estas la rilatumo de Poisson (la sama en ĉiuj direktoj por izotropaj materialoj).

Rilatumo de Poisson de iuj materialoj

Materialo	Rilatumo de Poisson
Korko	~ 0,00
Ŝaŭmo	0,10 ... 0,40
Karbido de silicio (SiC)	0,17
Vitro	0,18 ... 0,3
Betono	0,20
Sablo	0,20 ... 0,45
Boro (Be)	0,21
Gisfero	0,21 ... 0,26
Si3N4	0,25
Ŝtalo	0,27 ... 0,30
Rustorezista ŝtalo	0,30 ... 0,31
Argilo	0,30 ... 0,45
Kupro (Cu)	0,33
Aluminiaj (Al) alojoj	0,33
Titano (Ti)	0,34
Magnezio (Mg)	0,35
Latuno	0,37
Organa vitro (speco de plasto)	0,40…0,43
Saturita (malseka) argilo	0,40 ... 0,50
Oro (Au)	0,42
Plumbo (Pb)	0,44
Kaŭĉuko	~ 0,50

Vidu ankaŭ

• Modulo de Young
• Tonda elasta modulo
• Ampleksa modulo
• Leĝo de Hooke
• Koeficiento de varmeca elvolvado

Eksteraj ligiloj

• Rilatumo de Poisson
• Rilatumo de Poisson
• Materialoj kun negativa rilatumo de Poisson
• Materialoj kun negativa rilatumo de Poisson
• Rilatumo de Poisson de vitroj

Izotropa prema modulo K • Modulo de Young E • Unua parametro de Lamé λ • Tonda elasta modulo G • Rilatumo de Poisson ν • P-onda modulo M
Konvertaj formuloj
(propraĵoj de izotropa materialo estas plene difinitaj per iuj du el la valoroj, la aliaj povas esti kalkulitaj)
	(λ, G)	(E, G)	(K, λ)	(K, G)	(λ, ν)	(G, ν)	(E, ν)	(K, ν)	(K, E)	(M, G)
K=	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$			$\lambda {\tfrac {1+\nu }{3\nu }}$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$			$M-{\tfrac {4G}{3}}$
E=	$G{\tfrac {3\lambda +2G}{\lambda +G}}$		$9K{\tfrac {K-\lambda }{3K-\lambda }}$	${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$2G(1+\nu )\,$		$3K(1-2\nu )\,$		$G{\tfrac {3M-4G}{M-G}}$
λ=		$G{\tfrac {E-2G}{3G-E}}$		$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$	${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	$M-2G\,$
G=			$3{\tfrac {K-\lambda }{2}}$		$\lambda {\tfrac {1-2\nu }{2\nu }}$		${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$	$3K{\tfrac {1-2\nu }{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$
ν=	${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$					${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
M=	$\lambda +2G\,$	$G{\tfrac {4G-E}{3G-E}}$	$3K-2\lambda \,$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$	$\lambda {\tfrac {1-\nu }{\nu }}$	$G{\tfrac {2-2\nu }{1-2\nu }}$	$E{\tfrac {1-\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	$3K{\tfrac {1-\nu }{1+\nu }}$	$3K{\tfrac {3K+E}{9K-E}}$