Q-eksponenta funkcio

En kombina matematiko, la q-eksponenta funkcio estas la q-analogo de eksponenta funkcio.

Difino

La q-eksponenta funkcio $e_{q}(z)$ estas difinita kiel

$e_{q}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}{\frac {(1-q)^{n}}{(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}}$

kie $[n]_{q}!$ estas la q-faktorialo kaj

$(q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)$

estas la q-serio. Tio ke ĉi tio estas la q-analogo de la eksponenta funkcio sekvas de propraĵo

$\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z)$

kie la derivaĵo maldekstre estas q-derivaĵo. La pli supra egalaĵo estas facile kontrolebla per konsidero q-derivaĵo de la unutermo

$\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1}.$

Ĉi-tie, $[n]_{q}$ estas la q-krampo.

Propraĵoj

Por reela $q>1$, la funkcio $e_{q}(z)$ estas tuta funkcio de z. Por $q<1$, $e_{q}(z)$ estas regula en disko $|z|<1/(1-q)$.

Rilatoj

Por $q<1$, funkcio kiu estas proksime rilatanta estas

$e_{q}(z)=E_{q}(z(1-q))$

Ĉi tie, $E_{q}(t)$ estas speciala okazo de baza supergeometria serio:

$E_{q}(z)=\;_{1}\phi _{0}(0;q,z)=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}z}}$