Kampo de frakcioj

En matematiko, ĉiu integreca ringo povas esti enigita en kampon; la plej malgranda tia kampo estas la kampo de frakcioj de la integreca ringo. La elementoj de la kampo de frakcioj de la integreca ringo R havas formon a/b kun a kaj b en R kaj b ≠ 0. La kampo de frakcioj de la ringo R estas iam simboligita per Quot(R) aŭ Frac(R). La kampo de frakcioj de la ringo de entjeroj estas la kampo de racionaloj, Q = Quot(Z). La kampo de frakcioj de kampo estas izomorfia al la korpo mem.

Oni povas konstrui la kampon de frakcioj Quot(R) de la integreca ringo R kiel sekvas: Quot(R) estas la aro de ekvivalento-klasoj de paroj (n, d), kie n kaj d estas eroj de R, kaj d estas ne 0, kaj la ekvivalentrilato estas:

(n, d) estas ekvivalento al (m, b) se kaj nur se nb=md (oni konsideras la klason (n, d) kiel la frakcio n/d)

La enigo estas donita per n$\mapsto$(n, 1). La sumo de la ekvivalento-klasoj de (n, d) kaj (m, b) estas la klaso de (nb + md, db) kaj ilia produto estas la klaso de (mn, db).

La kampon de frakcioj de R karakterizas jena universala eco: se f : R → F estas ringa homomorfio de R en kampon F, tiam ekzistas unika ringa homomorfio g : Quot(R) → F, kiu etendas f.

Ekzistas kategori-teoria interpreto de ĉi tiu konstruo. Estu C la kategorio de integrecaj ringoj kaj disĵetaj ringaj homomorfioj. La funktoro de C al la kategorio de kampoj, kiu ĵetas ĉiun integrecan ringon al ĝia frakcikampo kaj ĉiun ringan homomorfion al la rilata kampa homomorfio (kiu ekzistas per la universala eco) esstas la maldekstra adjunkto de la forgesa funktoro el la kategorio de kampoj al C.

Terminologio

Matematikistoj nomas tiun konstruadon la kvocienta kampo, kampo de frakcioj, aŭ frakcikampo. Malgraŭ la simila nomo, oni ne konfuzu tion kun la kvociento de ringo per idealo, kio estas alia nocio.

Vidu ankaŭ

• Lokaligo de ringo, kiu ĝeneraligas la kampon de frakcia konstruado
• Kvocienta ringo - kvankam kvocientaj ringoj povas esti kampoj, ili estas tute malsamaj de frakcikampoj.