Jordana normala formo

En lineara algebro, jordana normala formo aŭ jordana kanona formo aŭ klasika kanona formo aŭ pli mallonge jordana formo de n×n kvadrata matrico A estas matrico J=P⁻¹AP kiu havas certan formon.

Ĝi estas nomita en honoro de Camille Jordano.

Difino

Ĝenerale, kompleksa kvadrata matrico A estas simila al bloka diagonala matrico J (ekzistas inversigebla matrico P tia ke P⁻¹AP = J):

J={\begin{bmatrix}J_{1}&\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{p}\end{bmatrix}}

kie ĉiu bloko J_i estas kvadrata matrico de formo

J_{i}={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&\;&\;\\\;&\lambda _{i}&\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda _{i}\end{bmatrix}}.

Ne-nulaj elementoj de J estas nur sur la ĉefdiagonalo kaj la super-diagonalo. J estas la jordana normala formo de A. Ĉiu J_i estas jordana bloko de A. En ĉiu jordana bloko, ĉiu elemento sur la super-diagonalo estas 1.

Estas jenaj propraĵoj:

Inkluzivante oblecojn, la ajgenoj de J, la samaj kiel ajgenoj de A, estas la diagonalaj elementoj de J.
Por ĉiu ajgeno λ_i, ĝia geometria obleco estas dimensio de Ker(A-λ_iI), kaj ĝi estas kvanto de jordanaj blokoj respektivaj al λ_i.
Sumo de ampleksoj de ĉiu jordanaj blokoj respektiva al ajgeno λ_i estas ĝia algebra obleco.
A estas diagonaligebla se kaj nur se por ĉiu ajgeno λ_i de A, ĝia geometria kaj algebra oblecoj egalas. Aŭ, ekvivalente, n×n matrico A estas diagonaligebla se kaj nur se sumo de dimensioj de la ajgenspacoj estas n. Aŭ, ekvivalente, se kaj nur se A havas n lineare sendependajn ajgenvektorojn. Ne ĉiu matrico estas diagonaligebla.
Jordana bloko respektiva al λ estas de formo λ I + N, kie N estas nulpotenca matrico difinita kiel N_ij = δ_i,(j-1) (kie δ estas la delto de Kronecker). La nulpotenceco de N povas esti uzata en kalkulado de f(A) kie f estas kompleksa analitika funkcio. Ekzemple, la jordana formo povas doni fermitan forman esprimon por la eksponenta funkcio exp(A).

Ekzemplo

Estu matrico:

A={\begin{bmatrix}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{bmatrix}}.

Inkluzivante oblecon, ajgenoj de A estas 1, 2, 4, 4. La dimensio de la kerno de A-4 I estas 1, tiel A estas ne diagonaligebla. Tamen, estas inversigebla matrico P tia ke A = PJP⁻¹ kie

J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}

estas preskaŭ diagonala. Ĉi tiu estas la jordana normala formo de A.

Ĝeneraligitaj ajgenvektoroj

Konsideri la matrico A de la ekzemplo en la antaŭa sekcio. La jordana normala formo estas ricevita per iu simileca transformo P⁻¹AP = J, kio estas

AP=PJ.

Estu P konsistanta de kolumnaj vektoroj p_i, i = 1, ..., 4, tiam

A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&1&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{bmatrix}}.

Do

\;(A-5I)p_{1}=0

kaj

\;(A-5I)p_{i}=p_{i-1}{\mbox{ por }}i=2,\;3,\;4.

Por i=1, p₁ ∈ Ker(A-5I), do p₁ estas ajgenvektoro de A respektiva al la ajgeno 5. Por i = 2, 3, 4, tamen, p_i ∈ Ker(A-5I)ⁱ. Ĉi tiaj vektoroj estas ĝeneraligitaj ajgenvektoroj de A.

Tial, por ĉi ajgeno λ, al ĝi respektivas la jordana ĉeno. La generilo, aŭ konduka vektoro p_r, de la ĉeno estas ĝeneraligita ajgenvektoro tia ke (A-λ I)^rp_r = 0, kie r estas la amplekso de la jordana bloko. La vektoro p₁ = (A-λ I)^r-1p_r estas ajgenvektoro respektiva al λ. Ĝenerale, p_i estas antaŭbildo de p_i-1 sub A-λ I. Tiel la konduka vektoro generas la ĉenon per multipliko per A-λ I.

Pro tio, frazo ke ĉiu kvadrata matrico A povas esti prezentita en jordana normala formo signifas ke ekzistas bazo konsistanta nur de ajgenvektoroj kaj ĝeneraligitaj ajgenvektoroj de A

Unikeco

La jordana normala formo de donita matrico A estas unika supren ĝis la ordo de la jordanaj blokoj.

Scio de algebra kaj geometriaj oblecoj de la ajgenoj estas ne sufiĉa por difini la jordanan normalan formon de A. Estu m(λ) la algebra obleco de ajgeno λ, do la strukturo de la jordana formo sekvas el rangoj de la potencoj (A-λ I)^m(λ). Ekzemple n×n matrico A havu nur unu ajgenon λ. Tiel m(λ)=n. La plej malgranda entjero k₁ tia ke

(A-\lambda I)^{k_{1}}=0

estas la amplekso de la plej granda jordana bloko en la jordana formo de A. (Ĉi tiu nombro k₁ estas ankaŭ nomata kiel la indekso de λ. La rango de

(A-\lambda I)^{k_{1}-1}

estas la kvanto de jordanaj blokoj de amplekso k₁. Simile, la rango de

(A-\lambda I)^{k_{1}-2}

estas dufoje la kvanto de jordanaj blokoj de amplekso k₁ plus la kvanto de jordanaj blokoj de amplekso k₁-1. Simile, la rango de

(A-\lambda I)^{k_{1}-3}

estas trifoje la kvanto de jordanaj blokoj de amplekso k₁ plus dufoje la kvanto de jordanaj blokoj de amplekso k₁-1 plus la kvanto de jordanaj blokoj de amplekso k₁-2. La ĝenerala okazo estas simila. Ripetado tiamaniere donas la precizan jordanan strukturon de A.

Ĉi tiu estas uzebla por montri la unikeco de la jordana formo. Estu J₁ kaj J₂ du jordanaj normala formoj de A. Tiam J₁ kaj J₂ estas simila kaj havas la saman spektron, inkluzivante la algebrajn oblecojn de la ajgenoj. La proceduro supre priskribita povas esti uzata por difini la strukturon de ĉi tiuj matricoj. Pro tio ke rango de matrico estas konservata, per simileca transformo, estas reciproke unuvalora surĵeto inter la jordanaj blokoj de J₁ kaj J₂. Ĉi tiu demonstras la unikecon.

Potencoj

Se n estas natura nombro, la n-a potenco de matrico en jordana normala formo estas direkta sumo de supraj triangulaj matricoj, sekve de bloka multipliko. Pli aparte, post potencigo ĉiu jordana bloko estas supra triangula bloko. Ĉiu triangula bloko konsistas el λⁿ sur la ĉefdiagonalo, ${\tbinom {n}{1}}$ λ^n-1 sur la supra diagonalo, kaj tiel plu.

Ekzemple:

{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&1&0&0&0\\0&\lambda _{1}&1&0&0\\0&0&\lambda _{1}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&1\\0&0&0&0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&{\tbinom {n}{2}}\lambda _{1}^{n-2}&0&0\\0&\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&0&0\\0&0&\lambda _{1}^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{2}^{n-1}\\0&0&0&0&\lambda _{2}^{n}\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}2&1&0&0&0\\0&2&1&0&0\\0&0&2&0&0\\0&0&0&5&1\\0&0&0&0&5\end{bmatrix}}^{4}={\begin{bmatrix}16&32&24&0&0\\0&16&32&0&0\\0&0&16&0&0\\0&0&0&625&500\\0&0&0&0&625\end{bmatrix}}

Konsekvencoj

Spektra surĵeta teoremo

Uzante la jordanan normalan formon, direkta kalkulo donas spektran surĵetan teoremon por polinomo: Estu A n×n matrico kun ajgenoj λ₁, ..., λ_n, tiam por ĉiu polinomo p, p(A) havas ajgenojn p(λ₁), ..., p(λ_n).

Cayley-Hamiltona teoremo

La Cayley-Hamiltona teoremo asertas ke ĉiu matrico A kontentigas sian karakterizan ekvacion: se p estas la karakteriza polinomo de A, tiam p(A) = 0. Ĉi tio povas esti montrita per direkta kalkulo en la jordana formo.

Cifereca analitiko

Se la matrico A havas oblajn ajgenojn, aŭ estas proksime al matrico kun oblaj ajgenoj, tiam ĝia jordana normala formo estas tre delikata al perturboj. Konsideru ekzemple matricon

A={\begin{bmatrix}1&1\\\varepsilon &1\end{bmatrix}}.

Se ε = 0, tiam la jordana normala formo estas simple

{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.

Tamen, por ε ≠ 0, la jordana normala formo estas

{\begin{bmatrix}1+{\sqrt {\varepsilon }}&0\\0&1-{\sqrt {\varepsilon }}\end{bmatrix}}.

Ĉi tiu kondiĉeco faras tre malfacilan, ellabori fortikan ciferecan algoritmon por la jordana normala formo, ĉar la rezulto dependas kritike de tio ĉu du ajgenoj estas konsiderataj kiel egalaj. Pro ĉi tiu kaŭzo, la jordana normala formo estas kutime evitita en cifereca analitiko; la stabila malkomponaĵo de Schur estas ofte pli bona alternativo.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

Jordana kanona formo je MathWorld