正多面体
せいためんたい
プラトンの立体とも言い、以下の5種が存在（※レイアウトの都合により、頂点の数→頂数、構成面の角数→面形、頂点に入る辺の数→頂形、後述のシュレーフリ記号→シュレ記号としている）。
| 多面体の名称 | 頂数 | 辺数 | 面数 | 面形 | 頂形 | シュレ記号 | 双対 | 備考 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 4 | 6 | 4 | 3(正三角形) | 3 | {3, 3} | 正四面体（自己双対） | 三次元の正単体。 |
| 立方体 | 8 | 12 | 6 | 4(正方形) | 3 | {4, 3} | 正八面体 | 三次元の正測体。単独で空間充填可能。別名：正六面体 |
| 正八面体 | 6 | 12 | 8 | 3(正三角形) | 4 | {3, 4} | 立方体 | 三次元の正軸体。 |
| 正十二面体 | 20 | 30 | 12 | 5(正五角形) | 3 | {5, 3} | 正二十面体 | |
| 正二十面体 | 12 | 30 | 20 | 3(正三角形) | 5 | {3, 5} | 正十二面体 |
現在は一様多面体の一種に位置付けられており、同時に「一様多面体の双対」の一種でもある。
名前だけ見れば規則不明だが、上表の「面形」と「頂形」に注目すれば、以下のように簡潔にまとめる事ができる。
これを利用し、{面の形, 頂点の形}として各正多面体をズバリ表現できる。
例えば{4, 3}と言えば立方体の事となる。
この表現法をシュレーフリ記号と言う。
正多面体は正多角形の三次元版に当たるが、事情は随分異なっている。
まず、正多角形が無限種存在するのに対し、正多面体は上記の5種しか存在しない。
次に、正多角形の場合は辺の数と頂点の数が同じであるため正n角形＝正n辺形であるが、正多面体はこの辺やや複雑である。
例えば立方体は面は6つだが、頂点は8つ、辺は12とバラバラであり、構成面の形や頂点の形という要素も加わる。
更に、面の数＝図形の複雑さとも限らない。
例えば、正八面体は面は8つと立方体より多いが、頂点は実は6つと少なく、辺の数は同じ12である。実はこの2つは双対関係（詳細は「多面体」を参照）を成しており、複雑さ具合としては同レベルである。
つまり、正多角形には「正三角形→正方形→正五角形」という縦の繋がりしか無かったが、正多面体には双対関係という横の繋がりも有り、「正四面体→（立方体⇔正八面体）」という感じになっている。
正十二面体と正二十面体も双対関係を成しており、名前だけ見れば正二十面体がラスボスっぽいが、頂点の数で見れば正十二面体の方がゴツい。
一般的に、この2種は同格の二強と捉えるのが妥当（強いて言えば正十二面体の方がむしろ手強いかも。なお正四面体は自己双対）。
まとめると以下のような分岐進化のような形となる。
┌→立方体─→正十二面体
正四面体┤ ⇕ ⇕
└→正八面体→正二十面体
正多面体の場合はこのように、名前は性質の一部しか表していない点に注意が要る。
ある意味偏ったネーミングなのである。
もしかしたら別の世界においては、頂点の数を基準として、立方体は正八角体、正八面体は正六角体、正十二面体は正二十角体、正二十面体は正十二角体のように呼ばれているかもしれない。
通常は面の数順に「正四面体・立方体・正八面体・正十二面体・正二十面体」のように並べられるが、頂点の数順ならば「正四面体・正八面体・立方体・正二十面体・正十二面体」という並びとなる。
標準正多胞体という概念においては、正四面体はα、立方体はγ、正八面体はβとされており、ちょうど後者の並びとなっている。
- 正四面体の各頂点を辺の中点まで切り込むと正八面体になり、各面をねじって行くと正二十面体→正八面体になる。他の正多面体に対してこれらの操作を行うと半正多面体となる。
- 正四面体の各面の中心を適切に吊り上げると立方体となり、各頂点をねじって行くと正十二面体→立方体となる。他の正多面体に対してこれらの操作を行うと、半正多面体の双対であるカタランの立体となる。
- 正十二面体の特定の頂点を結ぶと立方体となり、立方体の特定の頂点を結ぶと正四面体となる。
- 正二十面体の特定の面を伸ばすと正八面体となり、正八面体の特定の面を伸ばすと正四面体となる。
- 正四面体、正八面体、正二十面体は面の形が共通しており、正四面体、立方体、正十二面体は頂点に入る辺の数が共通している。電気回路においては、前者の面の形は文字形通りの「Δ（デルタ）」で、後者の頂点の形は3本の線が集まってるという事で「Y（ワイ）」で表現する例がある。
以下は広義の正多面体という見方もあれており、これで正多面体は15種となる。
- 星型正多面体…凸多面体（任意の頂点同士を結んだ線が多面体の外部を通らない）という条件を省く事で現れる。全4種。
- 正平面充填形…有限の範囲に収まらなくても良く、更に同一平面上で連なっても良いとする事によって現れる。全3種。
- ねじれ正多面体（正スポンジ）…凸多面体である事と有限である事を省く事で現れる。全3種。
正多面体≠プラトンの立体？
英語版Wikipediaによると、正多面体の英名に当たるRegular polyhedronは星型正多面体も含んでいるようであり、通常の正多面体はPlatonic solid（プラトンの立体）、或いはRegular convex polyhedron（凸正多面体？）とされ区別されている。
ねじれ正多面体と正平面充填形までは通常は含まない様子。
同様に、半正多面体の英名Semi-regular polyhedronと準正多面体の英名Quasi-regular polyhedron、ついでに正多角形の英名Regular polygonも、凸でないものを含んでいる様子があり、対して凸な半正多面体（角柱・反角柱を除く）はArchimedean solid（アルキメデスの立体）と呼ばれている。
日本語版Wikipediaでさえ、凸でない多面体を準正多面体と呼んでいる記事もある。
要は、この辺の言葉の定義は未だ未だ曖昧な様子なので、用心しておくに越した事は無い。
正多面体は、三次元版の正ポリトープである。
二次元版の正ポリトープは正多角形であり、これは先に述べたように∞種存在する。
これが三次元になると5種に激減するわけだが、四次元（正多胞体）になると1種増えて6種となり、五次元では3種に減って、以降は変化しない。
ここで、五次元以上で残る3種というのは、正四面体、立方体、正八面体に相当するものであり、「標準正多胞体」と呼ばれる。
つまり、五次元以上では正十二面体と正二十面体に相当するものが無いわけで、これらには三～四次元の神秘が秘められているのかもしれない。
正四面体、立方体、正八面体の3種は、三次元の標準正多胞体という事で標準正多面体とでも呼べそうであるが、あまり聞かないのと、準正多面体との混同に注意が要る。
プラトンによって、四大元素と以下のように結び付けられている。
ここで正十二面体は「天を構成する元素」として特殊な扱いをされている。
第五元素と言えばプラトンの弟子アリストテレスが提唱したエーテルがあり、これは宇宙を構成するとされるため、実質的には正十二面体⇔エーテルとして良さそうではあるが、英語版Wikipediaによれば、アリストテレスは元素と正多面体の対応には関心無かった様子？
元々5つである五行や五大の方が正多面体との相性は良さそうであり、双対関係を持つ点は陰陽説と相性良さそうであるが、結び付けられたという話は聞かない。
東洋での知名度はいま一つだったのだろうか。
天体の運動で有名なヨハネス・ケプラーは、当時知られていた6つの惑星の軌道と、正多面体とを結びつける宇宙モデルを提唱した。
たった5つしかない美しい立体という事で、多くの人々に並々ならぬ神秘を感じさせて来たのである。
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【資料】正多面体等の頂点座標の近似値
正多面体、半正多面体、カタランの立体の頂点座標の近似値データです。 「作ってみたいけど計算はちょっと」というかたは是非ご活用ください。 正多面体のみ、式も付けてます。 なおファイルデータという概念はありません（爆）。 邪道ですが、小説機能初めて使ってみました。 小説というか物語も作ってみたいものではありますが、引き出しが浅すぎるためか、余程脳内麻薬ドバドバの時にしか思いつかない哀しみ…。 [pixivimage:ID-ページ番号]という形式で複数枚投稿作品の2ページ目以降も指定できるようですが、裏ワザ！？54,731文字pixiv小説作品