最初に断っておくと、(2)は計算で出せなくもないですがかなり難解です。地道に数えた方が楽だと感じるのではないかと思います。 (3)では式を用いて0になることを証明してみます。 (4)はちょっと計算だけで出すのは無理があると思いますので、回答は控えます。 ====== (2) 移動距離が9になる場合というのは、 (A)上に4回, 下に1回, 右に4回進む (B)上に3回, 右に5回, 左に1回進む のどちらかのパターンに限られます。 まず(A)のパターンを考えます。 この場合は、4個の↑, 1個の↓, 4個の→, を並べる場合の数を計算すればよいことになります。 但し、以下の条件が付きます。 ・「同じ道を通らない」という条件から、「↑と↓が隣り合う」場合は除外しなければなりません。 ・スタート地点からいきなり下に進んだり、一番上の道よりさらに上に進んだりすることはできないので、「↓」より前と「↓」より後には少なくとも1つずつ「↑」が来なければなりません。 これらの条件から、「↓」の前後は「→↓→」の形で決定します。 また、2番目の条件を反映させるために、以下のように考えます。 『まず、5個の○印と2個の→を並べる。次に、5個の○印の両端を↑に変更する。残った3個の○のうち1つを「→↓→」に変える。最後に、残りの2個の○印を↑に変える。』 （言葉だけで説明するの難しいので実際に書いて試してみてください） このように考えると、 ・5個の○印と2個の→を並べる方法： 7C2 = 21通り ・3個の○のうちどれを「→↓→」に変えるか： 3通り なので、(A)のパターンは合計21×3=63通りということになります。 同様に(B)については、 『まず、6個の○印と1個の↑を並べる。次に、6個の○印の両端を→に変更する。残った4個の○のうち1つを「↑←↑」に変える。最後に、残りの3個の○印を→に変える。』 という考え方をすると、 ・6個の○印と1個の↑を並べる方法： 7C1 = 7通り ・4個の○のうちどれを「↑←↑」に変えるか： 4通り となるので、(B)のパターンは合計7×4=28通りということになります。 合計63+28=91通りです。 (3) 上, 下, 右, 左にそれぞれa, b, c, d回進むと仮定します。 移動距離の合計は a+b+c+d です。 最終的に、上に正味3マス、右に正味4マス進むことになるので、 a-b=3, c-d=4 でなければなりません。 ここで、a-b=3の両辺に2bを足すと a+b = 3+2b …① またc-d=4の両辺に2dを足すと c+d = 4+2d …② ①＋②より、移動距離の合計a+b+c+dは a+b+c+d = 7 + 2(b+d) となりますが、右辺が奇数＋偶数の形なのでこれは必ず奇数になります。 なので、移動距離の合計が12 (偶数)になる可能性は絶対にありません。