端末AからBに移動すると、Aのセーブデータが全てBに移動します。 引っ越した状態でAのセーブデータを起動すると質問にあったように初めからになります。 なので同じデータで遊び続けたい場合は、使う端末を変える毎にデータの引っ越しをする必要があります。 ほとんどのソフトはSwitchオンラインに加入することで引っ越しせずともデータを共有することが可能です。 ただしポケモンのソフトは対応していないので、その都度引っ越しが要ります。