大学物理の微分方程式の問題です。おもりを付けた台車の運動方程式から台車の挙動を求めましたが、解き方は合っていますでしょうか？

この流れでよいと思います。 あとは t=0のときのxと速度vの値を与えてC1とC2を決定する必要があります。

(定理1 定数係数の線形微分演算子たちは、 可換環(+−×のできる集合)を作り、 因数分解も出来ます。) d²x/dt² ＝ −2dx/dt−10x ⇔ ((d/dt)²+2(d/dt)+10) x ＝ 0 ⇔ (d/dt+1+3i)(d/dt+1−3i)x＝0 (定理2 n階(n∈ℕかつn≧1)正規線形常微分方程式の一般解は、積分定数をn個含んだ式になり、それがその微分方程式の解のすべてです。)(n階微分方程式が、dⁿx/dtⁿ＝•••の形に解けるとき、正規と言う。) ⇔ x＝C₁e⁽⁻¹⁻³ⁱ⁾ᵗ+C₂e⁽⁻¹⁺³ⁱ⁾ᵗ ＝C₃e⁻ᵗcos(3t)+C₄e⁻ᵗsin(3t) あなたの計算方法で、数学的に正しいです。 数式を5行書くだけで解を算出できます。