リーマン積分可能と、区分求積法の関係について質問です。 分割幅を等間隔のまま狭くしたときに極限が存在するなら、任意の分割で幅を狭くしたときにも極限が存在するのでしょうか？ 質問の意図をざっくりと言うと、分割の仕方により極限値が変わる事があるのでしょうか？代表点の取り方により極限値が変わる事は知っています。(ディリクレ関数のリーマン積分) 以下、質問を定式化します。 関数f:[a,b]→R(a<b)とし、D={X⊂(a,b) | Xは有限集合}とします。 Δ={x[1],…,x[n-1]}∈Dのとき、Δは x[0]=a<x[1]<…<x[n-1]<b=x[n] という分割を与えます。 d(Δ)=max{x[i]-x[i-1] | i=1,…,n}とします。 K(Δ)={1,…,n}とし、 F(Δ)={ξ:K(Δ)→[a,b] | ξ(i)∈[x[i-1],x[i]](i=1,…,n)} とします。 s(f,Δ,ξ)=Σ[i=1→n] f(ξ(i))(x[i]-x[i-1])とします。 •リーマン積分可能の定義:関数fがリーマン積分可能とは、実数sが存在して、任意のε>0に対してあるδ>0が存在して、 d(Δ)<δならば、任意のξ∈F(Δ)に対して、 |s(f,Δ,ξ)-s|<ε となる事と表現できると思います。論理記号で表すなら、 ∀ε>0,∃δ>0,∀Δ∈D,(d(Δ)<δ⇒∀ξ∈F(Δ),|s(f,Δ,ξ)-s|<ε) でしょうか。 •区分求積法:各自然数nに対してΔ[n]を、 Δ[n]={a+(b-a)/n,…,a+(n-1)(b-a)/n}∈D とします。任意のε>0に対して、ある自然数n'が存在して、任意の自然数nに対してn≧n'ならば、任意のξ∈F(Δ)に対して、 |s(f,Δ,ξ)-s|<ε となるとき、fは区分求積可能と言う事にします。 ∀ε>0,∃n'∈N,∀n∈N,(n≧n'⇒∀ξ∈F(Δ[n]),|s(f,Δ[n],ξ)-s|<ε) でしょうか。 このとき、 リーマン積分可能⇔fは区分求積可能 が成り立ちますか？ ⇒が成り立つ事は、n→∞のときd(Δ[n])→0となる事からわかりますが、逆は言えるのでしょうか？
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