2つの複素数 α, β を次のように定める。 α = √3/2+i/2，β=cosθ+isinθ （0≦θ<π/6，π/6<θ≦π） 複素数平面上において、原点をO、α+β が表す点をA、α-β が表す点をB、αが表す点をCとする。さらに、点Oと点Aを通る直線をl 、点Oと点Bを通る直線を m とする。ここで、以下の各問に答えよ。 (1) 直線 l と直線 m が直交することを証明せよ。 (2) △OBC において、 ∠BOC の大きさを θ を用いて表せ。 (3) (2)において、cos∠BOC のとり得る値の範囲を求めよ。 ・・・・・・・・・読みにくいので書き直しました。・・・・・ (1) α=cos(π/6)+isin(π/6) （以下，煩雑になるのでφ＝π/6とおく） α+β=(cosφ+cosθ)+i(sinφ+sinθ) ......=2cos((φ+θ)/2)cos((φ-θ)/2)+2isin((φ+θ)/2)cos((φ-θ)/2) ......=2cos((φ-θ)/2){cos((φ+θ)/2)+isin((φ+θ)/2)} α-β=(cosφ-cosθ)+i(sinφ-sinθ) ......=-2sin((φ+θ)/2)sin((φ-θ)/2)+2icos((φ+θ)/2)sin((φ-θ)/2) ......=2sin((φ-θ)/2){-sin((φ+θ)/2)+icos((φ+θ)/2)} ......=2sin((φ-θ)/2){cos((φ+θ+π)/2)+isin((φ+θ+π)/2)} φ>θ すなわち，θ<π/6 のとき，sin((φ-θ)/2)>0 arg(α-β)=(φ+θ+π)/2 φ<θ すなわち，θ>π/6 のとき，sin((φ-θ)/2)<0 arg(α-β)=(φ+θ+π)/2-π=(φ+θ-π)/2 arg((α+β-0)/(α-β-0)) =arg(α+β)-arg(α-β) φ>θ のとき， arg((α+β-0)/(α-β-0))=π/2 φ<θ のとき， arg((α+β-0)/(α-β-0))=-π/2 よって，l とm は直交する。 (2) Cを表す複素数はα. arg(α)=φ， Bを表す複素数はα-β. φ>θ のとき， arg(α-β)=(φ+θ+π)/2 ∠BOC=arg(α)-arg(α-β) ........=(φ-θ-π)/2 ........=-5π/12-θ/2 φ<θ のとき， arg(α-β)=(φ+θ+π)/2-π=(φ+θ-π)/2 ∠BOC=arg(α)-arg(α-β) ........=(φ-θ+π)/2 ........=7π/12-θ/2 (3) 0≦θ<π/6，π/6<θ≦π より， ⁻π/2≦-θ/2<-π/12，-π/12<-θ/2≦0 φ>θ のとき， ∠BOC=-5π/12-θ/2 より， -π/2≦∠BOC<-π/2，-π/2<∠BOC≦-5π/12 φ<θ のとき， ∠BOC=7π/12-θ/2 より， π/12≦∠BOC<π/2，π/2<∠BOC≦7π/12 sin((φ-θ)/2) の正負で場合分けするのが気付きにくいと思います。