Trojúhelníková nerovnost

Trojúhelníková nerovnost je matematická věta: V každém trojúhelníku platí, že součet délek kterýchkoliv dvou stran je vždy větší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je používána v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, L^p prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

Reálná a komplexní čísla

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel $x$ a $y$ ve tvaru

$|x+y|\leq |x|+|y|$

Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

$x\leq |x|$ a zároveň

$-x\leq |x|$.

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla $x$ a $y$ a sečteme-li je, dostáváme

$x+y\leq |x|+|y|$ a

$-x-y\leq |x|+|y|$.

Z definice absolutní hodnoty $|x+y|$ víme, že může nabývat jen hodnot $x+y$ nebo $-x-y$. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

Normovaný vektorový prostor

V normovaném vektorovém prostoru $V$ s normou $\|\cdot \|$ má trojúhelníková nerovnost tvar

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

pro každé dva vektory $x$ a $y$ z $V$.

L^p prostory

V L^p prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že L^p prostory jsou normované vektorové prostory.

Metrický prostor

V metrickém prostoru $M$ s metrikou $d$ má trojúhelníková nerovnost tvar:

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

to jest, že vzdálenost $x$ a $z$ není větší než součet vzdálenosti z $x$ do $y$ a vzdálenosti z $y$ do $z$.

Důsledky

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

$\left||x|-|y|\right|\leq |x-y|$ pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

$\left|\|x\|-\|y\|\right|\leq \|x-y\|$ pro normované vektorové prostory a

$\left|d(x,y)-d(x,z)\right|\leq d(y,z)$ pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce $d(x,\cdot )$ jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.

Odkazy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu trojúhelníková nerovnost na Wikimedia Commons

Autoritní data	NKC: ph602139

Portály: Matematika