Topologický vektorový prostor

Systém všech okolí počátku (otevřené množiny obsahující nulový prvek) jednoznačně určuje TVS. Systém všech okolí jiného bodu lze získat posunutím .

Topologický vektorový prostor (zkratka TVS, také lineární topologický prostor) je vektorový prostor, v němž je uvažována topologie nad množinou vektorů a topologie nad množinou skalárů vektorového prostoru tak, aby operace sčítání vektorů a operace násobení skalárem byly spojité v součinových topologiích.

Definice

Topologický vektorový prostor $X$ je vektorový prostor nad topologickým tělesem $\mathbb {K}$ (nejčastěji reálná nebo komplexní čísla s jejich obvyklou topologií), který je vybaven topologií, v které sčítání vektorů $+:X\times X\to X$ a násobení skalárem $\cdot :\mathbb {K} \times X\to X$ jsou spojitá zobrazení vzhledem ke součinovým topologiím nad definičními obory těchto zobrazení.

Topologický vektorový prostor aritmetických vektorů

Jednoduchým příkladem topologického vektorového prostoru je prostor aritmetických vektorů $\scriptstyle V=\mathbb {R} ^{n}$, kde za topologii vezmeme topologii indukovanou euklidovskou normou. Jinými slovy, okolími daného vektoru jsou koule o jistém poloměru mající svůj střed v tomto vektoru. Tedy například (otevřená) koule $\scriptstyle B_{r}^{n}({\vec {x}})$ o (kladném) poloměru $\scriptstyle r$ se středem ve vektoru $\scriptstyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ má množinový tvar

$B_{r}^{n}({\vec {x}})=\{{\vec {y}}\in \mathbb {R} ^{n}|\|{\vec {y}}-{\vec {x}}\|_{2}<r\}={\Bigg \{}{\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\Bigg |}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-x_{i})^{2}}}\ <\ r{\Bigg \}}.$

Topologii pak sestrojíme jako sjednocení všech možných koulí, tj. koulí o všech možných (nenulových) poloměrech se středy ve všech možných vektorech prostoru $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$. K nim ještě musíme do topologie přihodit všechny možné průniky konečně mnoha libovolných koulí, prázdnou množinu a celou množinu $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$. Za těleso bereme reálnou osu $\scriptstyle \mathbb {R}$, jehož topologii sestrojíme analogicky případu výše, kde položíme $\scriptstyle n=1$. V takovém případě se nám otevřená koule redukuje na otevřený interval

$B_{r}^{1}(x)=\{y\in \mathbb {R} ||y-x|<r\}=(x-r,x+r).$

Součinová topologie $\scriptstyle \tau ''$ pro kartézský součin $\scriptstyle T\times V$ je pak tvořena kartézskými součiny koulí z prostorů $\scriptstyle T=\mathbb {R}$ a $\scriptstyle V=\mathbb {R} ^{n}$, jejich konečnými průniky a libovolnými sjednoceními, kde navíc vezmeme ještě prázdnou množinu a celou množinu $\scriptstyle T\times V$. Podobně pro topologii $\scriptstyle \tau '$ na kartézském součinu $\scriptstyle V\times V$.

Ukažme nejprve spojitost součtu dvou aritmetických vektorů v námi zavedené topologii. Naším úkolem je ověřit, že pro kterékoliv dva vektory $\scriptstyle {\vec {x}}_{0}$ a $\scriptstyle {\vec {y}}_{0}$ a kterýkoli kladný poloměr $\scriptstyle r$ leží vektor tvaru $\scriptstyle {\vec {x}}+{\vec {y}}$ v okolí $\scriptstyle U=B_{r}^{n}({\vec {x}}_{0}+{\vec {y}}_{0})$, kde $\scriptstyle {\vec {x}}\in B_{\varepsilon }^{n}({\vec {x}}_{0})$ a $\scriptstyle {\vec {y}}\in B_{\tilde {\varepsilon }}^{n}({\vec {y}}_{0})$ pro jisté poloměry $\scriptstyle \varepsilon$ a $\scriptstyle {\tilde {\varepsilon }}$. Neboli chceme, aby platilo $\scriptstyle \|({\vec {x}}+{\vec {y}})-({\vec {x}}_{0}+{\vec {y}}_{0})\|_{2}<r$. Pokud pro každé $\scriptstyle r$ najdeme odpovídající $\scriptstyle \varepsilon$ a $\scriptstyle {\tilde {\varepsilon }}$ tak, aby byla splněna tato podmínka, tak můžeme uzavřít, že sčítání vektorů je spojité, neboť pro každé okolí $\scriptstyle U$ součtu jsme našli odpovídající okolí $\scriptstyle B_{\varepsilon }^{n}({\vec {x}}_{0})\times B_{\tilde {\varepsilon }}^{n}({\vec {y}}_{0})$ v součinové topologii množiny $\scriptstyle V\times V$, které vystupuje v definici spojitosti. Za tím účelem však stačí položit $\scriptstyle \varepsilon ={\tilde {\varepsilon }}={\frac {r}{3}}$, abychom měli

$\|({\vec {x}}+{\vec {y}})-({\vec {x}}_{0}+{\vec {y}}_{0})\|_{2}=\|({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})+({\vec {y}}+{\vec {y}}_{0})\|_{2}\leq \|{\vec {x}}-{\vec {x}}_{0}\|_{2}+\|{\vec {y}}+{\vec {y}}_{0}\|_{2}<\varepsilon +{\tilde {\varepsilon }}={\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}={\frac {2r}{3}}<r.$

Odhadli jsme tedy patřičnou normu jak jsme měli a ověřili jsme tak spojitost sčítání vektorů.

Podobně nyní ověřme spojitost násobení vektoru číslem. Chceme ukázat, že pro každý násobek $\scriptstyle \alpha _{0}{\vec {x}}_{0}$ čísla $\scriptstyle \alpha _{0}$ a vektoru $\scriptstyle {\vec {x}}_{0}$ a pro každé jeho okolí $\scriptstyle U=B^{n}(\alpha _{0}{\vec {x}}_{0})$ najdeme okolí $\scriptstyle B^{1}(\alpha _{0})$ čísla $\scriptstyle \alpha _{0}$ a okolí $\scriptstyle B^{n}({\vec {x}}_{0})$ vektoru $\scriptstyle {\vec {x}}_{0}$ tak, že ať vynásobím libovolné číslo z okolí $\scriptstyle B^{1}(\alpha _{0})$ s libovolným vektorem z okolí $\scriptstyle B^{n}({\vec {x}}_{0})$, tak dostanu opět vektor, který leží v okolí $\scriptstyle U$. Jinými slovy, mějme kouli $\scriptstyle U=B_{r}^{n}(\alpha _{0}{\vec {x}}_{0})$ se středem v $\scriptstyle \alpha _{0}{\vec {x}}_{0}$ a poloměrem $\scriptstyle r$. Chceme najít poloměr $\scriptstyle \varepsilon$ koule $\scriptstyle B_{\varepsilon }^{1}(\alpha _{0})$ se středem v $\scriptstyle \alpha _{0}$ a poloměr $\scriptstyle {\tilde {\varepsilon }}$ koule $\scriptstyle B_{\tilde {\varepsilon }}^{n}({\vec {x}}_{0})$ se středem v $\scriptstyle {\vec {x}}_{0}$ tak, aby libovolný vektor tvaru $\scriptstyle \alpha {\vec {x}}$ ležel v množině $\scriptstyle U$, kde $\scriptstyle \alpha \in B_{\varepsilon }^{1}(\alpha _{0})$ a $\scriptstyle {\vec {x}}\in B_{\tilde {\varepsilon }}^{n}({\vec {x}}_{0})$. S použitím vlastností normy můžeme odhadnout seshora výraz $\scriptstyle \|\alpha {\vec {x}}-\alpha _{0}{\vec {x}}_{0}\|_{2}$ následovně

$\|\alpha {\vec {x}}-\alpha _{0}{\vec {x}}_{0}\|_{2}=\|(\alpha -\alpha _{0})({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})+\alpha _{0}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})+(\alpha -\alpha _{0}){\vec {x}}_{0}\|_{2}\ \leq \ |\alpha -\alpha _{0}|\|{\vec {x}}-{\vec {x}}_{0}\|_{2}+|\alpha _{0}|\|{\vec {x}}-{\vec {x}}_{0}\|_{2}+|\alpha -\alpha _{0}|\|{\vec {x}}_{0}\|_{2}\ \leq \ \varepsilon {\tilde {\varepsilon }}+|\alpha _{0}|{\tilde {\varepsilon }}+\varepsilon \|{\vec {x}}_{0}\|_{2},$

kde jsme ve druhé nerovnosti využili definic příslušných okolí, jak jsou specifikována výše. Diskutujme nyní dva případy. Za prvé, když platí $\scriptstyle r\ \geq \ 6\|\alpha _{0}{\vec {x}}_{0}\|_{2}$, kde $\scriptstyle r$ je poloměr okolí $\scriptstyle U$. V takovém případě stačí položit $\scriptstyle \varepsilon =|\alpha _{0}|$ a $\scriptstyle {\tilde {\varepsilon }}=\|{\vec {x}}_{0}\|_{2}$, abychom obdrželi

$\varepsilon {\tilde {\varepsilon }}+|\alpha _{0}|{\tilde {\varepsilon }}+\varepsilon \|{\vec {x}}_{0}\|_{2}=3|\alpha _{0}|\|{\vec {x}}_{0}\|_{2}\leq 6|\alpha _{0}|\|{\vec {x}}_{0}\|_{2}\leq r.$

Ukázali jsme tedy, že pokud $\scriptstyle r\ \geq \ 6\|\alpha _{0}{\vec {x}}_{0}\|_{2}$, tak jsme našli poloměry okolí $\scriptstyle B_{\varepsilon }^{1}(\alpha _{0})$ a $\scriptstyle B_{\tilde {\varepsilon }}^{n}({\vec {x}}_{0})$ tak, že vyhovují definici spojitosti násobení vektoru číslem. Podívejme se nyní na případ, kdy $\scriptstyle r\ <\ 6\|\alpha _{0}{\vec {x}}_{0}\|_{2}$. Tehdy můžeme položit

$\varepsilon ={\frac {r}{6\|{\vec {x}}_{0}\|_{2}}},\quad {\tilde {\varepsilon }}={\frac {r}{6|\alpha _{0}|}},$

kde $\scriptstyle r$ je poloměr okolí $\scriptstyle U$. Dostáváme tak

$\varepsilon {\tilde {\varepsilon }}+|\alpha _{0}|{\tilde {\varepsilon }}+\varepsilon \|{\vec {x}}_{0}\|_{2}={\frac {r^{2}}{36|\alpha _{0}|\|{\vec {x}}_{0}\|_{2}}}+{\frac {r}{6}}+{\frac {r}{6}}={\frac {r}{6}}\,{\Bigg (}{\frac {r}{6\|\alpha _{0}{\vec {x}}_{0}\|_{2}}}+2{\Bigg )}.$

Protože řešíme případ pro $\scriptstyle r\ <\ 6\|\alpha _{0}{\vec {x}}_{0}\|_{2}$, můžeme první člen v závorce odhadnou seshora jedničkou, abychom dostali výraz

${\frac {r}{6}}\,{\Bigg (}{\frac {r}{6\|\alpha _{0}{\vec {x}}_{0}\|_{2}}}+2{\Bigg )}<{\frac {r}{6}}\,{\Bigg (}1+2{\Bigg )}={\frac {r}{2}}<r.$

V případě $\scriptstyle r\ <\ 6\|\alpha _{0}{\vec {x}}_{0}\|_{2}$ jsme tedy též našli poloměry $\scriptstyle \varepsilon ,{\tilde {\varepsilon }}$ daných okolí tak, že je splněna podmínka spojitosti. Ověřili jsme tak platnost druhé definiční podmínky topologického vektorového prostoru.

Prostor $\scriptstyle V=\mathbb {R} ^{n}$ je zajisté Hausdorffův, protože pro každé dva vektory $\scriptstyle {\vec {x}},{\vec {y}}$ jsme schopni zjistit jejich vzdálenost pomocí Euklidovy normy, označme si ji $\scriptstyle d$. Když pak vezmu kouli $\scriptstyle B_{r}({\vec {x}})$ o poloměru $\scriptstyle r={\frac {d}{3}}$ a kouli $\scriptstyle B_{r}({\vec {y}})$ o témže poloměru, tak tyto dvě koule tvoří okolí vektoru $\scriptstyle {\vec {x}}$ a vektoru $\scriptstyle {\vec {y}}$ a jsou přitom disjunktní. Je tedy splněn i třetí požadavek a můžeme uzavřít, že prostor $\scriptstyle V=\mathbb {R} ^{n}$ nad tělesem $\scriptstyle T=\mathbb {R}$ s přirozeně zavedenou topologií je topologickým vektorovým prostorem.

Autoritní data	BNF: cb119470847 (data) GND: 4122383-4 LCCN: sh85077185 NDL: 00570682 NLI: 987007529340705171