Tečný prostor

Matematický pojem tečný prostor variety v daném bodě značí množinu všech jejích tečných vektorů "vázaných" v tomto bodě, viz Obr. 1. Na každém tečném prostoru je přirozeným způsobem dána struktura vektorového prostoru; odtud tedy označení tečný prostor.

Definice

Pokud $M$ je hladká varieta a ${\mathcal {F}}(M)$ značí množinu všech hladkých funkcí definovaných na $M$ , pak tečným prostorem $T_{x}{}M$ variety $M$ v bodě $x\in {}M$ nazveme množinu všech funkcionálů $W:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow \mathbb {R}$ splňujících:

$W(\alpha {}f+\beta {}g)=\alpha \,W(f)+\beta \,W(g),\quad {}W\in \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ , $f,g\in {\mathcal {F}}(M)$
$W(fg)=f(x)\,W(g)+g(x)\,W(f),\quad {}f,g\in {\mathcal {F}}(M)$

Každý prvek $T_{x}{}M$ nazveme tečným vektorem $M$ v bodě $x$ .

Vlastnosti

Lineární struktura

Definujeme-li na $T_{x}{}M$ sčítání dvou prvků $W,X\in {}T_{x}{}M$ , $(W+X)(f):=W(f)+X(f),\quad {}f\in {\mathcal {F}}(M)$ tvoří $T_{x}{}M$ vektorový prostor. Navíc lze za pomocí vlastností 1 a 2 definice ukázat, že je konečněrozměrný a jeho dimenze je rovna dimenzi variety $M$ .

Tečný vektor v lokálních souřadnicích

Pokud máme na varietě $M$ lokální systém souřadnic $({\mathcal {O}},y^{i})$ , $x\in {\mathcal {O}}$ , můžeme tečný vektor $W\in {}T_{x}{}M$ rozvinout v bázi souřadnicových vektorových polí $\left(\partial /\partial {}y^{i}\right)_{i=1}^{\mathrm {dim} M}$ : $W=\sum _{i=1}^{\mathrm {dim} M}W(y^{i}){\frac {\partial }{\partial {}y^{i}}}|_{x}$

Příklad

Obr.2: Tečný vektor křivky $\gamma (t)$ v bodě $x$

Jestliže $\gamma (t):I\rightarrow {}M$ ( $I$ je otevřený interval v $\mathbb {R}$ ) je hladká křivka na varietě $M$ procházející bodem $x\in {}M$ v $t=0$ , je zobrazení $v:f\mapsto {}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(f\circ \gamma )|_{t=0},\quad {}f\in {\mathcal {F}}(M),$ tečným vektorem variety $M$ v bodě $x$ a současně tečným vektorem křivky $\gamma (t)$ v $x$ .

Odkazy

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu tečný prostor na Wikimedia Commons

Literatura

Fecko M., Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge 2006
Krump L., Souček V., Těšínský J. A.: Matematická analýza na Varietách, skripta MFF UK, Karolinum 1999
Kowalski O., Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995