Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je nejjednodušším matematickým modelem kyvadla. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavěšený na tenkém nepružném dokonale ohebném vlákně zanedbatelné hmotnosti, zanedbává se odpor vzduchu při pohybu kyvadla i tření v závěsu a tíhové pole se považuje za homogenní. Pohyb se navíc děje v jedné rovině a lze jej tak popsat jednou souřadnicí, většinou úhlem výchylky z rovnovážné polohy. Matematické kyvadlo je netlumený mechanický oscilátor, tedy soustava, která po dodání počáteční energie periodicky kmitá. Je to nelineární systém, ale při malých výchylkách (±5°) je průběh tohoto kmitání přibližně harmonický, lze jej tedy vyjádřit např. pomocí funkce sinus.

Matematický popis

Na hmotný bod působí jen tíhová síla a tahová síla vlákna, která ho udržuje stále ve stejné vzdálenosti od závěsu. Tečná složka síly je

F_{t}=mg\sin \varphi

,

kde $g$ je tíhové zrychlení a φ je úhel, o který je vlákno vychýleno z rovnovážné polohy.

Pro tečné zrychlení platí:

$a_{t}=v'(t)=(l\omega )'=l\varphi ''(t).$

Diferenciální rovnice pohybu kyvadla je z 2. Newtonova pohybového zákona tedy

{\ddot {\varphi }}=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi

, což je Cauchyho–Eulerova diferenciální rovnice, a

kde $l$ je délka vlákna. Pokud je maximální výchylka z rovnovážné polohy $\varphi _{\rm {max}}$ malá (viz přesné řešení dále), lze funkci sinus nahradit lineární funkcí - přímo úhlem (v obloukové míře)

\sin \varphi \approx \varphi

.

Diferenciální rovnice má proto podstatně jednodušší tvar (lineární homogenní 2. řádu)

{\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\varphi =0.

Tato rovnice má partikulární řešení pro počáteční úhlovou výchylku $\varphi _{m}$ (jejíž velikost je amplitudou) a nulovou počáteční rychlost

\varphi (t)=\varphi _{m}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t\right)

,

kde $t$ je čas, což je pohybová rovnice lineárního harmonického oscilátoru s kruhovou frekvencí ω a periodou T

\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}},T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}

.

Je vidět, že periodu ovlivňuje pouze délka kyvadla a (místní) tíhové zrychlení, hmotnost závaží na ni samozřejmě nemá vliv. Matematické kyvadlo lze tedy použít k měření místního tíhového zrychlení.

Reálné kyvadlo

Neuvažujeme-li pouze malé výchylky kyvadla jako v předchozím případě, je mnohem náročnější pohybovou diferenciální rovnici vyřešit. K jejímu řešení je potřeba vyšší transcendentní funkce úplný eliptický integrál I. druhu

K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{1 \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}{u}}}}\,du\,

pomocí nějž lze vyjádřit přesný vzorec pro periodu v závislosti na úhlovém rozkmitu $\varphi _{m}\in (0;{\frac {\pi }{2}}\rangle$

T(\varphi _{m})=4{\sqrt {\ell  \over g}}\,K\left(\sin {\varphi _{m} \over 2}\right).

Kyvadlo už v tomto případě není harmonický oscilátor. Periodu kmitání kyvadla lze vyjádřit pomocí řady

T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{m}}{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\varphi _{m}}{2}}\right)+...\right)

.

Pokud uvažujeme nenulové tření při pohybu kyvadla přímo úměrné rychlosti, klesá maximální výchylka při kmitání exponenciálně v závislosti na čase.

Redukovaná délka

Délka $l$ matematického kyvadla, které se kývá stejně (tzn. má stejnou periodu) jako fyzické kyvadlo, se nazývá redukovaná délka fyzického kyvadla. Mají-li být periody stejné pak platí

l^{\star }={\frac {J}{ml}}

,

kde $l^{\star }$ představuje redukovanou délku kyvadla, $m$ je hmotnost tělesa, $l$ je vzdálenost závěsu od těžiště a $J$ je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace.

Reverzní kyvadlo

Pokud naneseme na přímku, která je kolmá k ose otáčení $O$ a současně prochází těžištěm tělesa, redukovanou délku kyvadla, dostaneme bod $O^{\prime }$ . Tento bod se nazývá střed kyvu a má tu vlastnost, že těleso, zavěšené na ose procházející bodem $O^{\prime }$ má stejnou periodu, jako těleso zavěšené v bodě $O$ .

Je-li totiž moment setrvačnosti tělesa k ose jdoucí těžištěm $J_{0}$ a jeho moment setrvačnosti kolem rovnoběžné osy kyvu $J$ , pak redukovaná délka je

l={\frac {J_{0}+ma^{2}}{ma}}={\frac {J_{0}}{ma}}+a

,

kde $a$ označuje vzdálenost těžiště od bodu $O$ .

Kýve-li se těleso kolem středu kyvu $O^{\prime }$ , platí podle Steinerovy věty

J^{\prime }=J_{0}+m{(l-a)}^{2}

Pro redukovanou délku dostaneme

l^{\prime }={\frac {J^{\prime }}{m(l-a)}}={\frac {J_{0}}{m(l-a)}}+(l-a)

Z předchozích vztahů pak plyne

l^{\prime }=a{\frac {l-a}{l-a}}+(l-a)=l

Redukovaná délka pro osu $O^{\prime }$ je tedy stejná jako pro původní osu $O$ .

Pokud je těleso zavěšeno v bodě $O^{\prime }$ , který je od bodu $O$ vzdálen o redukovanou délku $l$ , dostaneme tzv. reverzní (převratné) kyvadlo. Perioda převratného kyvadla je opět dána vztahem

T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}

.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu matematické kyvadlo na Wikimedia Commons