Grashofovo číslo

Grashofovo číslo (Gr) je podobnostní číslo v dynamice tekutin a přenosu tepla, které udává poměr vztlaku a viskózní síly působící na kapalinu. Často se objevuje při popisu volné konvekce. Je pojmenované po německém inženýrovi Franzi Grashofovi.

Použití

Grashofovo číslo je:

$\mathrm {Gr} _{L}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })L^{3}}{\nu ^{2}}}\,$ pro svislou desku

$\mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })D^{3}}{\nu ^{2}}}\,$ pro trubku

$\mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })D^{3}}{\nu ^{2}}}\,$ pro obtékaná tělesa

kde:

g je gravitační zrychlení

β je teplotní součinitel objemové roztažnosti (přibližně rovný 1/T pro ideální plyny)

T_s je povrchová teplota

T_∞ je průměrná teplota

L je výška desky

D je vnitřní průměr

ν je kinematická viskozita.

Indexy L a D naznačují charakteristický rozměr.

Přechod k turbulentnímu proudění dochází při 10⁸ < Gr_L < 10⁹ pro přirozenou konvekci na svislé stěně. Při vyšších Grashofových číslech je mezní vrstva turbulentní a při nižších laminární.

Grashofovo číslo spolu s Prandtlovým číslem dává Rayleighovo číslo, bezrozměrnou veličinu charakterizující konvekci v přenosu tepla.

Přenos hmoty

Existuje analogická forma Grashofova čísla používaná v případech volné konvekce v přenosu hmoty.

$\mathrm {Gr} _{c}={\frac {g\beta ^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^{3}}{\nu ^{2}}}$

kde:

$\beta ^{*}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial C_{a}}}\right)_{T,p}$

a:

g je gravitační zrychlení

C_a,s je koncentrace a na povrchu

C_a,a je koncentrace a v okolním médiu

L je charakteristická délka

ν je kinematická viskozita

ρ je hustota kapaliny

C_a je koncentrace a

T je teplota (konstantní)

p je tlak (konstantní).

Derivace

Prvním krokem k derivaci Grashofova čísla je úprava koeficientu objemové roztažnosti, $\mathrm {\beta }$.

$\beta ={\frac {1}{v}}\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {-1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p}$

Měli byste mít na paměti, že $v$ ve výše uvedené rovnici zastupuje měrný objem, a není stejné jako $v$ v následující sekci, které reprezentuje rychlost. Vztah, dávající do souvislosti koeficient objemové roztažnosti $\mathrm {\beta }$ a hustotu $\mathrm {\rho }$ při konstantním tlaku, může být zapsán jako:

$\rho =\rho _{o}(1-\beta \Delta T)$

kde:

$\rho _{o}$ je průměrná hustota tekutiny

$\rho$ je hustota mezní vrstvy tekutiny

$\Delta T=(T-T_{o})$ je teplotní rozdíl mezi mezní vrstvou a tekutinou

Existují dva způsoby, jak zjistit Grashofovo číslo. První využívá bilanci energie, zatímco druhý využívá vztlakovou sílu díky rozdílu hustoty mezi mezní vrstvou a zbytkem tekutiny.

Energetická bilance

Využíváme bilanci energie pro rotačně symetrické proudění. Tato analýza v sobě zahrnuje jak gravitační zrychlení, tak i přenos tepla. Matematické rovnice dále charakterizují jak rotačně symetrické proudění, tak dvourozměrné rovinné proudění.

${\frac {\partial }{\partial s}}(\rho ur_{o}^{n})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho vr_{o}^{n})=0$

kde:

$s$ je směr rotace, tj. směr rovnoběžný s povrchem

$u$ je tangenciální rychlost, tj. rychlost rovnoběžná s povrchem

$y$ je vektor roviny, tj. směr kolmý na povrch

$v$ je normálová rychlost, tj. rychlost kolmá na povrch

$r_{o}$ je poloměr.

V této rovnici horní index n určuje, zda se jedná o rotačně symetrický proudění nebo rovinné proudění.

$n$ = 1: rotačně symetrické proudění

$n$ = 0: rovinné, dvoufázové proudění

$g$ je gravitační zrychlení

Tato rovnice se rozšíří o fyzikální vlastnosti tekutiny:

$\rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right)-{\frac {dp}{ds}}+\rho g.$

Kde můžeme dále zjednodušit rovnici hybnosti tím, že položíme rychlost celé tekutiny rovnou 0 (u = 0).

${\frac {dp}{ds}}=\rho _{o}g$

Tento vztah ukazuje, že gradient tlaku je dán pouze rozdílem hustoty kapaliny a gravitačním zrychlením. Dalším krokem je vložení gradientu tlaku do rovnice hybnosti.

$\rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g\beta (T-T_{o})$

Další zjednodušení rovnice hybnosti dosáhneme dosazením koeficientu objemové roztažnosti místo rozdílu hustot $\rho _{o}-\rho =\beta \rho (T-T_{o})$, a vztahem pro kinematickou viskozitu, $\nu ={\frac {\mu }{\rho }}$.

$u\left({\frac {\partial u}{\partial s}}\right)+v\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+g\beta (T-T_{o})$

Pro zjištění Grashofova čísla musí být výše uvedená rovnice bezrozměrná. To znamená, že žádná proměnná v rovnici nesmí obsahovat rozměr, a namísto toho má obsahovat charakteristické poměry pro uvedený případ. Toho se dosáhne podělením všech proměnných příslušnými konstantními množstvími. Délky jsou poděleny charakteristickou délkou, $L_{c}$. Rychlosti jsou poděleny příslušnými referenčními rychlostmi, $V$, které berou v úvahu Reynoldsovo číslo $V={\frac {\mathrm {Re} _{L}\nu }{L_{c}}}$. Teploty jsou poděleny vhodnými rozdíly teplot, $(T_{s}-T_{o})$. Tyto bezrozměrné parametry vypadají pak takto:

$s^{*}={\frac {s}{L_{c}}}$,

$y^{*}={\frac {y}{L_{c}}}$,

$u^{*}={\frac {u}{V}}$,

$v^{*}={\frac {v}{V}}$,

$T^{*}={\frac {(T-T_{o})}{(T_{s}-T_{o})}}$.

Hvězdičky představují bezrozměrné parametry. Zkombinováním těchto bezrozměrných rovnic s rovnicemi hybnosti dostáváme následující zjednodušenou rovnici.

$u^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial s^{*}}}+v^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial y^{*}}}=\left[{\frac {g\beta (T_{s}-T_{o})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}\right]{\frac {T^{*}}{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}$

kde:

$T_{s}$ je povrchová teplota

$T_{o}$ je teplota kapaliny

$L_{c}$ je charakteristická délka.

Bezrozměrný parametr v hranaté závorce v předchozí rovnici je Grashofovo číslo:

$\mathrm {Gr} ={\frac {g\beta (T_{s}-T_{o})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}.$

Buckinghamův Pi Teorém

Další formovou bezrozměrné analýzy, kterou získáme Grashofovo číslo, je známý jako Buckinghamův Pi Teorém. Tato metoda zahrnuje vztlakovou sílu každého objemu $F_{b}$ díky rozdílu hustoty v mezní vrstvě a zbytku kapaliny.

$F_{b}=(\rho -\rho _{o})g$

Tato rovnice může být upravena:

$F_{b}=\beta g\rho _{o}\Delta T.$

Seznam použitých proměnných v této metodě je umístěn níže.

Proměnná	Symbol	Rozměr
Charakteristická délka	$L$	$\mathrm {L}$
Viskozita tekutiny	$\mu$	$\mathrm {\frac {M}{Lt}}$
Tepelná kapacita tekutiny	$c_{p}$	$\mathrm {\frac {Q}{MT}}$
Tepelná vodivost tekutiny	$\lambda$	$\mathrm {\frac {Q}{LtT}}$
Koeficient objemové roztažnosti	$\beta$	$\mathrm {\frac {1}{T}}$
Gravitační zrychlení	$g$	$\mathrm {\frac {L}{t^{2}}}$
Rozdíl teplot	$\Delta T$	$\mathrm {T}$
Součinitel přestupu tepla	$\alpha$	$\mathrm {\frac {Q}{L^{2}tT}}$

S ohledem na Buckinghamův pi teorém existuje 9 – 5 = 4 bezrozměrných skupin. Vybereme-li L, $\mu ,\lambda$, g a $\beta$ jako referenční proměnné, pak skupiny $\pi$ jsou následující:

$\pi _{1}=L^{a}\mu ^{b}\lambda ^{c}\beta ^{d}g^{e}c_{p}$,

$\pi _{2}=L^{f}\mu ^{g}\lambda ^{h}\beta ^{i}g^{j}\rho$,

$\pi _{3}=L^{k}\mu ^{l}\lambda ^{m}\beta ^{n}g^{o}\Delta T$,

$\pi _{4}=L^{q}\mu ^{r}\lambda ^{s}\beta ^{t}g^{u}h$.

Vyřešením těchto skupin $\pi$ dostaneme:

$\pi _{1}={\frac {\mu (c_{p})}{\lambda }}=Pr$,

$\pi _{2}={\frac {l^{3}g\rho ^{2}}{\mu ^{2}}}$,

$\pi _{3}=\beta \Delta T$,

$\pi _{4}={\frac {\alpha L}{\lambda }}=Nu$

Ze dvou skupin $\pi _{2}$ a $\pi _{3},$ získáme Grashofovo číslo:

$\pi _{2}\pi _{3}={\frac {\beta g\rho ^{2}\Delta TL^{3}}{\mu ^{2}}}=\mathrm {Gr} .$

Použitím $\nu ={\frac {\mu }{\rho }}$ a $\Delta T=(T_{s}-T_{o})$ může být předchozí rovnice přepsána na stejný výsledek jako při derivování Grashofova čísla z bilance energie.

$\mathrm {Gr} ={\frac {\beta g\Delta TL^{3}}{\nu ^{2}}}$

Při nucené konvekci řídí Reynoldsovo číslo proudění tekutiny, ale při přirozené konvekci tuto funkci zastává Grashofovo číslo.

Reference

• Jaluria, Yogesh. Natural Convection Heat and Mass Transfer (New York: Pergamon Press, 1980).
• Cengel, Yunus A. Heat and Mass Transfer: A Practical Approach, 3rd Edition (Boston: McGraw Hill, 2003).
• Eckert, Ernst R. G. and Drake, Robert M. Analysis of Heat and Mass Transfer (New York: McGraw Hill, 1972).
• Welty, James R. Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer (New York: John Wiley & Sons, 1976).