Diferenciální operátor

Diferenciální operátor v matematice je operátor definovaný jako funkce operátoru derivace. Je užitečný především jako prostředek zápisu, který bere derivaci jako abstraktní operaci, která dostane funkci a vrátí jinou funkci (ve stylu funkce vyššího řádu v matematické informatice).

Nejčastěji používané diferenciální operátory jsou lineární, ale existují i nelineární diferenciální operátory, jako například Schwarzovská derivace.

Definice

Předpokládejme, že existuje zobrazení $A$ z prostoru funkcí ${\mathcal {F}}_{1}$ do prostoru funkcí ${\mathcal {F}}_{2}$ , a že funkce $f\in {\mathcal {F}}_{2}$ , taková, že $f$ je obrazem $u\in {\mathcal {F}}_{1}$ tj. 　 $f=A(u)\ .$ Diferenciální operátor (anglicky differential operator) je reprezentován jako lineární kombinace konečně generovaná $u$ a jeho derivacemi vyššího stupně jako například

P(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,

kde množina $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ nezáporných celých čísel se nazývá multi-index, $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ se nazývá délka, $a_{\alpha }(x)$ jsou funkce ne nějakém otevřeném definičním oboru v n-rozměrném prostoru a $D^{\alpha }=D^{\alpha _{1}}D^{\alpha _{2}}\cdots D^{\alpha _{n}}\ .$ Výše uvedená derivace je stejná jako funkce, případně distribuce nebo hyperfunkce a $D_{j}=-i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$ případně $D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$ .

Zápisy

Nejobvyklejším diferenciálním operátorem je samotný operátor provedení derivace. Nejobvyklejšími zápisy pro provedení první derivace podle proměnné x jsou:

{d \over dx},D,\,D_{x}\,

a

\partial _{x}.

Pro derivace n-tého řádu se používají operátory:

{d^{n} \over dx^{n}},

D^{n}\,

nebo

D_{x}^{n}.\,

Derivace funkce f argumentu x se zapisuje takto:

[f(x)]'\,\!

nebo takto:

f'(x).\,\!

Autorem zápisu pomocí D je Oliver Heaviside, který ve své studii o diferenciálních rovnicích pracoval s diferenciálními operátory tvaru

\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}

Mezi nejpoužívanější diferenciální operátory patří Laplaceův operátor definovaný vztahem

\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.

Dalším diferenciálním operátorem je operátor Θ nebo theta operátor, definovaný jako^[1]

\Theta =z{d \over dz}.

Tento operátor se někdy nazývá operátor homogenity, protože jeho vlastní funkce jsou jednočleny proměnné z:

\Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots

Operátor homogenity pro n proměnných je

\Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.

Jako v případě jedné proměnné, vlastní prostory operátoru Θ jsou prostory homogenních polynomů.

Podle obvyklých matematických konvencí se argument diferenciálního operátoru obvykle píše vpravo od operátoru. Někdy se používá alternativní notace: výsledek použití operátoru na funkci vlevo od operátoru a vpravo od operátor a rozdíl získaný použitím diferenciálního operátor na funkce na obou stranách se označuje pomocí šipek takto:

f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f

f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g

f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.

Tato notace se se často používá pro popis proudu pravděpodobnosti v kvantové mechanice.

Nabla

Důležitým vektorovým diferenciálním operátorem je operátor nabla. Ve fyzice se často používá například pro zápis diferenciálního tvaru Maxwellových rovnic. V trojrozměrné Kartézské soustavě souřadnic je operátor nabla definován takto:

\nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial  \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial  \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial  \over \partial z}.

Symbol nabla se používá pro výpočet gradientu, rotace, divergence a Laplaceova operátoru různých objektů.

Adjunkce operátorů

Je-li dán lineární diferenciální operátor T

Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u

sdružený operátor tohoto operátoru se definuje jako operátor $T^{*}$ takový, že

\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle

kde zápis $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ se používá pro skalární součin nebo vnitřní součin. Tato definice proto závisí na definici skalárního součinu.

Formální adjunkt jedné proměnné

Ve funkcionálním prostoru funkcí integrovatelných na obdélníku je skalární součin definován vztahem

\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,dx,

kde pruh nad g(x) označuje hodnotu komplexně sdruženou ke g(x). Jestliže navíc přidáme podmínku, že f nebo g je zanedbatelné pro $x\to a$ a $x\to b$ , můžeme také definovat adjunkt operátoru T vztahem

T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[{\overline {a_{k}(x)}}u].\,

Tento vzorec neexplicitně závisí na definici skalárního součinu. Proto se někdy používá jako definice sdruženého operátoru. Pokud se $T^{*}$ definuje tímto vzorcem, nazývá se formální adjunkt operátoru T.

(Formálně) samoadjungovaný operátor je operátor rovný své adjunkci.

Více proměnných

Jestliže Ω je definiční obor v Rⁿ a P je diferenciální operátor na Ω, pak adjunkt operátoru P je definovaný v L²(Ω) dualitou analogicky:

\langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}

pro všechny hladké L² funkce f, g. Protože hladké funkce jsou husté v L², je takto definován adjunkt na husté podmnožině L²: P^* je hustě definovaný operátor.

Příklad

Sturmův–Liouvilleův operátor je dobře známým příkladem formálního samoadjungovaného operátoru. Tento lineární diferenciální operátor druhého řádu L lze zapsat ve tvaru

Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!

Tuto vlastnost lze dokázat pomocí definice formálního adjunktu uvedené výše.

{\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}

Tento operátor je ústředním pojmem Sturmovy–Liouvilleovy teorie, která pracuje s vlastními funkcemi, což je obdoba vlastních vektorů.

Vlastnosti diferenciálních operátorů

Derivování je lineární, tj.

D(f+g)=(Df)+(Dg)\,

D(af)=a(Df)\,

kde a je konstanta a f a g jsou funkce.

Jakýkoli polynom v D s funkčními koeficienty je také diferenciální operátor. Diferenciální operátory můžeme také skládat podle pravidla

(D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).\,

Přitom je nutné dávat pozor:

Za prvé, libovolné funkční koeficienty v operátoru D₂ musí být diferencovatelné tolikrát, kolikrát vyžaduje aplikace operátoru D₁. Abychom získali okruh takových operátorů, musíme předpokládat, že se používá derivace všech řádů koeficientů.
Za druhé, tento okruh nebude komutativní: operátor gD není obecně totéž jako Dg. Například v kvantové mechanice je základní následující vztah:

Dx-xD=1.\,

Podokruh operatorů, které jsou polynomy v D s konstantními koeficienty, naopak komutativní je. Může být charakterizován jinak: skládá se z translačně invariantních operátorů.

Pro diferenciální operátory platí věta o translaci (anglicky shift theorem).

Více proměnných

Stejnou konstrukci můžeme uplatnit na parciální derivace, podle různých proměnných, čímž dostáváme operátory, které komutují (viz symetrie druhé derivace).

Okruh polynomiálních diferenciálních operátorů

Okruh jednorozměrných polynomiálních diferenciálních operátorů

Jestliže R je okruh, nechť $R\langle D,X\rangle$ je nekomutativní polynomiální okruh nad R v proměnná D a X a I oboustranný ideál generovaný DX-XD-1, pak okruh jednorozměrných polynomiálních diferenciálních operátorů nad R je podílový okruh $R\langle D,X\rangle /I$ . Což je nekomutativní jednoduchý okruh. Každý prvek lze jednoznačně zapsat jako R-lineární kombinaci jednočlenů tvaru $X^{a}D^{b}\mod {I}$ . To podporuje analogii Eukleidova algoritmu pro dělení polynomů.

Diferenciální moduly nad $R[X]$ (pro standardní derivaci) mohou být identifikovány s moduly nad $R\langle D,X\rangle /I$ .

Okruh vícerozměrných polynomiálních diferenciálních operátorů

Jestliže R je okruh, nechť $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle$ je nekomutativní polynomiální okruh nad R v proměnné $D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}$ a I oboustranný ideál generovaný prvky $D_{i}X_{j}-X_{i}D_{j}-\delta _{i,j},D_{i}D_{j}-D_{j}-D_{i},X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}$ pro všechny $1\leq i,j\leq n$ kde $\delta$ je Kroneckerovo delta, pak okruh vícerozměrných polynomiálních diferenciálních operátorů nad R je podílový okruh $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I$ .

Což je nekomutativní jednoduchý okruh. Každý prvek lze jednoznačně zapsat jako R-lineární kombinaci jednočlenů tvaru $X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}$ .

Vztah ke komutativní algebře

Ekvivalentní, ale čistě algebraický popis lineárního diferenciálního operátoru je tento: R-lineární zobrazení P je lineární diferenciální operátor k-tého řádu, jestliže pro libovolnou k + 1 hladkou funkci $f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)$ máme

[f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.

kde závorka $[f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)$ je definována jako komutátor

[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).\,

Tato charakterizace lineárních diferenciálních operátorů ukazuje, že jsou jistými zobrazeními mezi moduly nad komutativní algebrou, dovolující koncept, aby byla chápána jako část komutativní algebry.

Příklady

Ve fyzice hrají operátory jako například Laplaceův operátor hlavní roli při sestavování a řešení parciálních diferenciálních rovnic.
Operátory vnější derivace a Lieovy derivace mají stěžejní význam v diferenciální topologii.
Koncept derivace v abstraktní algebře umožňuje zobecnění diferenciálních operátorů, které nevyžadují použití diferenciálního počtu. Často se taková zobecnění používají v algebraické geometrii a v komutativní algebře. Související články jet (matematika).
Při rozvoji holomorfních funkcí komplexních proměnných z = x + i y, někdy komplexní funkci považujeme za funkci dvou reálných proměnných x a y. Použití se provede Wirtingerovými derivacemi, což jsou parciální diferenciální operátory:

{\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\quad ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .

Tento přístup se také používá pro studium funkcí více komplexních proměnných a funkcí operátoru motor proměnná.

Historie

Samostatný zápis diferenciálního operátoru začal používat Louis François Antoine Arbogast v roce 1800^[2].

Související články

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Differential operator na anglické Wikipedii.

↑ E. W. Weisstein. Theta Operator [online]. Dostupné online. ^{[nedostupný zdroj]}
↑ James Gasser (editor), Boole Anthology: Recent a klasický studuje v logický operátoru George Boole (2000), p. 169; Google Books.

Externí odkazy

HAZEWINKEL, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. New York: Springer, 2001. Dostupné online. ISBN 978-1-55608-010-4. Kapitola Differential operator. ^{[nedostupný zdroj]}

[1] E. W. Weisstein. Theta Operator [online]. Dostupné online. ^{[nedostupný zdroj]}

[2] James Gasser (editor), Boole Anthology: Recent a klasický studuje v logický operátoru George Boole (2000), p. 169; Google Books.

[1]

[2]