Definitnost

Definitnost je pojem z lineární algebry. Popisuje, jaké znaménko mohou nabývat reálné kvadratické formy určené symetrickými maticemi, a obecněji i komplexní seskvilineární formy určené hermitovskými maticemi.

Definitnost matice se v geometrii používá k charakterizaci kuželoseček a kvadrik. Pozitivně definitní matice souvisejí se skalárním součinem a mají řadu aplikací mimo lineární algebru, například v matematické analýze k určování extrémů funkcí více proměnných, v semidefinitním programování a ve fyzice.

Pozitivně definitní matice	Indefinitní matice
${\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&-{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$
Příslušná kvadratická forma $Q$ na $\mathbb {R} ^{2}$ : $Q(x,y)={\frac {1}{4}}x^{2}+y^{2}$	Příslušná kvadratická forma $Q$ na $\mathbb {R} ^{2}$ : $Q(x,y)={\frac {1}{4}}x^{2}-{\frac {1}{4}}y^{2}$
Body splňující $Q(x,y)=1$ (Elipsa).	Body splňující $Q(x,y)=1$ (Hyperbola).

Definice

Pro komplexní matice

Pokud pro hermitovskou komplexní matici ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ a každý nenulový komplexní vektor ${\boldsymbol {x}}\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \mathbf {0}$ platí:

${\boldsymbol {x}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {Ax}}>0$ ,	potom se ${\boldsymbol {A}}$ nazývá pozitivně definitní,
${\boldsymbol {x}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {Ax}}\geq 0$ ,	potom se ${\boldsymbol {A}}$ nazývá pozitivně semidefinitní,
${\boldsymbol {x}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {Ax}}<0$ ,	potom se ${\boldsymbol {A}}$ nazývá negativně definitní,
${\boldsymbol {x}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {Ax}}\leq 0$ ,	potom se ${\boldsymbol {A}}$ nazývá negativně semidefinitní,
v ostatních případech	se ${\boldsymbol {A}}$ nazývá indefinitní.

Pro reálné matice

Reálné hermitovské matice jsou symetrické a hermitovská transpozice splývá s obvyklou transpozicí. Předchozí definice se pro reálné matice zužuje následovně.

Pokud pro symetrickou reálnou matici ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ a každý nenulový reálný vektor ${\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0}$ platí:

${\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Ax}}>0$ ,	potom se ${\boldsymbol {A}}$ nazývá pozitivně definitní,
${\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Ax}}\geq 0$ ,	potom se ${\boldsymbol {A}}$ nazývá pozitivně semidefinitní,
${\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Ax}}<0$ ,	potom se ${\boldsymbol {A}}$ nazývá negativně definitní,
${\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Ax}}\leq 0$ ,	potom se ${\boldsymbol {A}}$ nazývá negativně semidefinitní,
v ostatních případech	se ${\boldsymbol {A}}$ nazývá indefinitní.

Pro bilineární a kvadratické formy

Nechť $V$ je vektorový prostor nad komplexními (nebo reálnými) čísly.

Pokud pro Hermitovskou seskvilineární formu $\langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {C}$ (resp. symetrickou bilineární formu $\langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {R}$ ) a libovolný nenulový vektor ${\boldsymbol {v}}\in V\setminus \mathbf {0}$ platí:

$\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}}\rangle >0$ ,	potom se forma nazývá pozitivně definitní,
$\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}}\rangle \geq 0$ ,	potom se forma nazývá pozitivně semi definitní,
$\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}}\rangle <0$ ,	potom se forma nazývá negativně definitní,
$\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}}\rangle \leq 0$ ,	potom se forma nazývá negativně semidefinitní,
v ostatních případech	se forma nazývá indefinitní.

V případě, že prostor $V$ má konečnou dimenzi, lze formu reprezentovat vůči libovolné bázi maticí. Bez ohledu na volbu báze se definitnost formy se shoduje s definitností matice.

Definitnost kvadratické formy se odvozuje od definitnosti příslušné symetrické matice.

Vlastní čísla

Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná, neboť díky spektrální větě je podobná reálné diagonální matici s vlastními čísly na diagonále. Definitnost matice je určena znaménky vlastních čísel. Hermitovská matice je:

pozitivně definitní, právě když má všechna vlastní čísla kladná.
pozitivně semidefinitní, právě když má všechna vlastní čísla nezáporná.
negativně definitní, právě když má všechna vlastní čísla záporná.
negativně semidefinitní, právě když má všechna vlastní čísla nekladná.
indefinitní, právě když má kladná i záporná vlastní čísla.

Vlastnosti

Řada vlastností platí pro více typů definitnosti, proto je formulujeme jen jednou a odpovídající části jsou odlišeny lomítky.

Násobek

Pokud je matice ${\boldsymbol {A}}$ pozitivně/negativně definitní a $r$ je kladné reálné číslo, potom matice $r{\boldsymbol {A}}$ je pozitivně/negativně definitní.

Pro semidefinitní matice obou typů stačí, aby $r$ bylo nezáporné.

Součet

Pokud jsou matice ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ pozitivně/negativně definitní/semidefinitní, potom jejich součet ${\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}$ je pozitivně/negativně definitní/semidefinitní.

Konvexita

Pokud jsou matice ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ pozitivně/negativně definitní/semidefinitní a $\alpha$ je reálné číslo z intervalu $\langle 0,1\rangle$ , potom jejich konvexní kombinace $\alpha {\boldsymbol {A}}+(1-\alpha ){\boldsymbol {B}}$ je pozitivně/negativně definitní/semidefinitní. Platí i pro konvexní kombinace více matic.

Inverze

Pokud je matice ${\boldsymbol {A}}$ pozitivně/negativně definitní, potom matice k ní inverzní ${\boldsymbol {A}}^{-1}$ je pozitivně/negativně definitní.

Součiny

Maticový součin ${\boldsymbol {AB}}$ pozitivně definitních matic ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ stejného řádu nemusí být pozitivně definitní.
Pokud ale součin komutuje, čili ${\boldsymbol {AB}}={\boldsymbol {BA}}$ a ${\boldsymbol {A}}$ i ${\boldsymbol {B}}$ jsou pozitivně definitní, pak ${\boldsymbol {AB}}$ je pozitivně definitní.
Hadamardův součin ${\boldsymbol {A}}\circ {\boldsymbol {B}}$ pozitivně definitních matic ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ je pozitivně definitní.
Kroneckerův součin ${\boldsymbol {A}}\otimes {\boldsymbol {B}}$ pozitivně definitních matic ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ je pozitivně definitní.
Frobeniův skalární součin $\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }$ pozitivně definitních matic ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ je kladné číslo.

Pozitivně definitní matice

Charakterizace

Nechť ${\boldsymbol {A}}$ je reálná symetrická (resp. komplexní hermitovská) matice. Pak následujících deset tvrzení je ekvivalentních:

Matice ${\boldsymbol {A}}$ je pozitivně definitní.

Všechna vlastní čísla matice ${\boldsymbol {A}}$ jsou kladná.

Všechna vlastní čísla všech hlavních podmatic jsou kladná.

Hlavní minory určené prvními $k$ řádky pro $k\in \{1,\ldots ,n\}$ jsou kladné, neboli $\det {\boldsymbol {A}}_{k}>0$ , kde

{\boldsymbol {A}}_{1}=a_{11},\quad {\boldsymbol {A}}_{2}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {A}}_{3}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}},\quad \ldots

tzv. Jacobiho podmínka, či Sylvestrovo kritérium.

Všechny hlavní minory matice ${\boldsymbol {A}}$ jsou kladné.

Součty všech hlavních minorů $k$ -tého stupně jsou kladné pro $k\in \{1,\ldots ,n\}$ .

Existuje dolní trojúhelníková matice ${\boldsymbol {L}}$ tak, že ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {L}}^{\mathrm {T} }$ (resp. ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {L}}^{\mathrm {H} }$ pro komplexní případ); viz Choleského rozklad.

Existuje regulární matice ${\boldsymbol {B}}$ tak, že ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }$ (resp. ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }$ pro komplexní případ).

Existují ortogonální (resp. unitární) matice ${\boldsymbol {U}}$ a diagonální matice ${\boldsymbol {D}}$ s kladnými prvky na diagonále takové, že ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {U}}^{\mathrm {T} }$ (resp. ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {U}}^{\mathrm {H} }$ pro komplexní případ); viz Jordanův normální tvar a Schurův rozklad.

Existuje symetrická (resp. hermitovská) regulární matice ${\boldsymbol {F}}$ taková, že ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {F}}^{2}$ . Obvykle se značí ${\boldsymbol {F}}={\sqrt {\boldsymbol {A}}}={\boldsymbol {A}}^{1/2}$ ; viz maticové funkce. Matici ${\boldsymbol {F}}$ lze získat například z výše uvedeného rozkladu ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {U}}^{\mathrm {T} }$ jako ${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {D}}^{1/2}{\boldsymbol {U}}^{\mathrm {T} }$ (resp. s hermitovskou transpozicí pro komplexní matice), přičemž prvky diagonální matice ${\boldsymbol {D}}^{1/2}$ jsou dány výrazem $({\boldsymbol {D}}^{1/2})_{ii}={\sqrt {d_{ii}}}$ .

Důkaz ekvivalence viz např. ^[1]

Věta dává k dispozici mnoho způsobů jak testovat pozitivní definitnost. V základním kurzu lineární algebry, při práci s malými maticemi ( $n=1,2,3$ ) se lze setkat s klasickou Jacobiho podmínkou (Sylvestrovým kritériem). Postupy založené na výpočtu determinantů (minorů) nebo vlastních čísel matice (podmatic) nejsou použitelné v praxi ( $n=10^{6},10^{9},\ldots$ ). Jediný prakticky upotřebitelný postup je Choleského rozklad.

Praktické určení pozitivní definitnosti

Ve výpočetní praxi je často potřeba určit, zda je reálná symetrická matice pozitivně definitní, efektivním, zejména numericky stabilním a časově nenáročným způsobem. Jako nejvhodnější nástroj se pro tento účel jeví Choleského rozklad (výpočet má asymptotickou složitost $n^{3}$ a algoritmus je numericky stabilní). Pokud matice není pozitivně definitní, pak dojde v průběhu výpočtu k dělení nulou nebo odmocnění záporného čísla. Pokud matice je pozitivně definitní, tyto situace ve výpočtu Choleského rozkladu nenastanou.

Choleského rozklad lze určit i pro komplexní hermitovskou pozitivně definitní matic. Při výpočtu je třeba použít aritmetiku komplexních čísel, a proto je nezbytné hlídat, zdali při výpočtu nedochází k odmocnění záporného čísla. Pokus o výpočet takové odmocniny v komplexní aritmetice obecně neskončí chybovým hlášením programu, ale pokud taková situace nastane, znamená to, že daná matice není pozitivně definitní.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Definite matrix na anglické Wikipedii a Definitheit na německé Wikipedii.

↑ Miroslav Fiedler, Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, TKI SNTL 1981.

Literatura

FIEDLER, Miroslav. Speciální matice a jejich použití v numerické matematice. [s.l.]: TKI, SNTL, 1981.
BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.

Související články

[1] Miroslav Fiedler, Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, TKI SNTL 1981.

[1]