Defektní matice

Podrobnější informace naleznete v článku Diagonalizovatelná matice.

Defektní maticí se v lineární algebře nazývá čtvercová matice, pro kterou nelze sestavit bázi složenou z vlastních vektorů, a proto není diagonalizovatelná.

Pro řešení defektních soustav obyčejných diferenciálních rovnic a podobných problémů je báze obvykle sestrojena doplněním vlastních vektorů o zobecněné vlastní vektory.

Ukázka

Reálná matice

${\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}}$

je defektní, protože má dvojnásobné vlastní číslo 3, ale dimenze prostoru vlastních vektorů $\{(c,0)^{\mathrm {T} }:c\in \mathbb {R} \}$ je jen 1.

Vlastnosti

Defektní matice řádu $n$ má méně než $n$ různých vlastních čísel, protože různá vlastní čísla odpovídají navzájem lineárně nezávislým vlastním vektorům. Komplexní defektní matice mají alespoň jedno vlastní číslo $\lambda$ algebraické násobnosti větší než 1. Pokud je algebraická násobnost vlastního čísla $\lambda$ větší než jeho geometrická násobnost (čili jeho násobnost coby kořene charakteristického polynomu převyšuje počet jemu příslušných lineárně nezávislých vlastních vektorů), pak se $\lambda$ nazývá defektní vlastní číslo. Přesto ke každému vlastnímu číslu algebraické násobností $m$ lze nalézt $m$ lineárně nezávislých zobecněných vlastních vektorů.

Reálné symetrické matice, komplexní hermitovské matice a komplexní unitární matice nejsou defektní. Obecněji, normální matice (které zahrnují hermitovské a unitární matice jako speciální případy) nejsou defektní.

Jordanovy bloky

Každý netriviální Jordanův blok rozměru alespoň $2\times 2$ je defektní. Například Jordanův blok řádu $n$

${\boldsymbol {J}}={\begin{pmatrix}\lambda &1&\\&\lambda &\ddots \\&&\ddots &1\\&&&\lambda \end{pmatrix}}$

má vlastní číslo $\lambda$ s algebraickou násobností $n$ (nebo větší, pokud existují další Jordanovy bloky se stejným vlastním číslem). Tomuto bloku však přísluší pouze jeden vlastní vektor ${\boldsymbol {J}}{\boldsymbol {v}}_{1}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{1}$, kde ${\boldsymbol {v}}_{1}=(1,0,\dots ,0)^{\mathrm {T} }$. Ostatní vektory standardní báze, konkrétně ${\boldsymbol {v}}_{2}=(0,1,0\dots ,0)^{\mathrm {T} },\dots ,{\boldsymbol {v}}_{n}=(0,\dots ,0,1)^{\mathrm {T} }$ tvoří řetězec zobecněných vlastních vektorů. Tyto vektory splňují ${\boldsymbol {J}}{\boldsymbol {v}}_{k}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k-1}$, pro každé $k\in \{2,\ldots ,n\}$.

Každá komplexní defektní matice má netriviální Jordanovu normální formu, tj. s alespoň jedním blokem řádu větším než 1.

Diagonální matice je speciální případ Jordanovy normální formy se všemi triviálními Jordanovými bloky řádu 1, a proto diagonální matice nejsou defektní.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Defective matrix na anglické Wikipedii.

Literatura

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Diagonalizovatelná matice
• Báze
• Jordanův normální tvar

Portály: Matematika