Antisymetrická relace

Binární relace $R$ na množině $M$ , ve které vztah $aRb$ a zároveň $bRa$ (neboli $(a,b)\in R\land (b,a)\in R$ ) neplatí

pro žádné $a\neq b$ , se nazývá antisymetrická nebo též slabě antisymetrická.
pro vůbec žádné $a,b$ , se nazývá silně antisymetrická.

„Silně antisymetrická“ tedy znamená „slabě antisymetrická a zároveň ireflexivní“. Slovo „slabě“ se vynechává tam, kde nehrozí nedorozumění: u ireflexivních relací, kde pojem silné a slabé antisymetrie značí totéž, nebo naopak u reflexivních relací, které nikdy nemohou být silně antisymetrické (s výjimkou prázdné relace na prázdné množině).

Např. na přirozených číslech

Relace $|a-b|<=1$ , tj. „čísla jsou si rovna nebo spolu sousedí“ není ani slabě antisymetrická, neboť do této relace patří jak dvojice $(1,2)$ , tak $(2,1)$ . Jinými slovy, čísla $a$ a $b$ jsou spolu v relaci „obousměrně“.
Běžná neostrá nerovnost $a\leq b$ je slabě antisymetrická: pokud např. $3\leq 5$ , nemůže zároveň platit $5\leq 3$ . Ovšem není silně antisymetrická, protože je reflexívní: $3\leq 3$ .
Běžná ostrá nerovnost $a<b$ je příkladem silně antisymetrické relace.

Typickým příkladem antisymetrických relací jsou

Neostrá částečná uspořádání neboli reflexivní antisymetrické a tranzitivní binární relace.
Ostrá částečná uspořádání neboli ireflexivní antisymetrické a tranzitivní binární relace.

Slabá antisymetrie není opakem symetrie $(a\mathbf {R} b\Rightarrow b\mathbf {R} a)$ . Existují relace, které jsou jak symetrické, tak slabě antisymetrické (rovnost), existují i relace, které nejsou ani symetrické, ani slabě antisymetrické (dělitelnost v okruhu celých čísel), existují relace, které jsou symetrické, ale nejsou slabě antisymetrické (dělení modulo p, kde p je prvočíslo), a existují relace, které nejsou symetrické, ale jsou slabě antisymetrické („je menší nebo rovno“).

Literatura

BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. ISBN 80-200-0470-X.