Tipico desviacion

Na estadistica, el tipico desviacion —tambien conocio como estandar desviacion o tipico desvio— es un medida utilizao para cuantifica con el variacion o el estadistico dispersion de un conjunto de maga numerico dato. Na otro maga palabra, ta referi este termino al cantidad de variacion de un aleatorio variable alrededor del de suyo esperanza. Ta significa un bajo tipico desviacion que ta tende el maga valor a queda cerca del media (tambien conocio como el esperanza), mientras que ta indica un alto tipico desviacion que ta extende el maga valor a un mas amplio rango.

Representable el tipico desviacion de abreviao manera por el griego letra minúscula sigma σ (para el tipico desviacion de un poblacion) o el latino letra s (para el tipico desviacion de un muestra), ansina como por el maga siglo SD (de standard deviation, na algun maga texto traducio del ingles).

El tipico desviacion de un aleatorio variable, muestreo, estadistico poblacion, conjunto de maga dato o distribucion de probabilidad es el cuadrao raiz del de suyo varianza. Algebraicamente mas simple, pero na el practica menos robusto, que el medio desviacion. Un util propiedad del tipico desviacion es que, hinde como el varianza, expresao na el mismo unidad de medida como el maga dato.

Bastante diferente, pero relacionao, el tipico desviacion de un poblacion o muestra y el estandar error de un estadistica (e.g. del media del muestra). El estandar error del media del muestra es el tipico desviacion del conjunto del maga media incuntrao extrayendo con un infinito numero de maga repetio muestra del poblacion y computando con un media para cada muestra. Igual el estandar error del media al tipico desviacion del poblacion dividio por el cuadrao raiz del tamaño del muestra, y estimao usando con el tipico desviacion del muestra dividio por el cuadrao raiz del tamaño del muestra. Por ejemplo, el estandar error de un encuesta (cosa reportao como el margen de error del encuesta) es el esperao tipico desviacion del estimao media si realizao multiple maga vez el encuesta. Ansina, ta estima el estandar error con el tipico desviacion de un estimacion, que al de suyo vez ta medi con cuanto ta depende el estimacion na el particular muestra extraio del poblacion.

Na ciencia comun informa con el tipico desviacion del maga dato (como el resumen) ademas del estandar error del estimacion (como un medida de potencial error na el maga resultao). Por convencion, solo "estadisticamente significativo" el maga efecto mas de dos maga estandar error de distancia de un nulo expectativa, un salvaguardia contra maga espurio conclusion na realidad caucao por un error de aleatorio muestreo.

Cuando solo disponible un muestreo de maga dato de un poblacion, puede referi el termino tipico desviacion del muestra al antedicho cantidad como aplicao a aquel maga dato, o a un modificao cantidad que es un imparcial estimacion del tipico desviacion del poblacion (el tipico desviacion de todo el poblacion).

Maga basico ejemplo

Tipico desviacion del poblacion del maga calificacion de ocho maga estudiante

Supone que el entero poblacion de interes son ocho maga estudiante na un particular clase. Para incuntra con el tipico desviacion del poblacion de un finito conjunto de maga numero, ta toma kita con el cuadrao raiz del promedio del maga cuadrao desviacion del maga valor restado del de ellos medio valor. El maga calificacion de un clase de ocho maga estudiante (esto es, un estadistico poblacion) son el ocho maga siguiente valor: $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.$

Ta tene este ocho maga punto de maga dato con el media de 5: $\mu ={\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}={\frac {40}{8}}=5.$

Primero, calcula con el maga desviacion de cada punto de maga dato del media, y cuadra con el resultao de cada uno: ${\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16.\\\end{array}}$

El varianza es el media de este maga valor: $\sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}={\frac {32}{8}}=4.$

e igual el tipico desviacion del poblacion al cuadrao raiz del varianza: $\sigma ={\sqrt {4}}=2.$

Valido este formula si y solo si ta forma el ocho maga inicial valor con el completo poblacion. Si na cambio son el maga valor un aleatorio muestra extraio desde algun gran parental poblacion (por ejemplo, ocho maga estudiante elegio aleatoriamente e independientemente de un clase de 2 maga millon), entonces ta dividi tu por 7 (que es n − 1) na lugar de 8 (que es n) na el denominador del ultimo formula, y el resultao es math display="inline">s = \sqrt{32/7} \approx 2.1.</math> Na aquel caso, el resultao del original formula es el tipico desviacion del muestra y denotao por ${\textstyle s}$ na lugar de $\sigma .$ Ta dale un division por ${\textstyle n-1}$ na lugar de ${\textstyle n}$ con un imparcial resultao del varianza del mas grande parental poblacion. Conocio este resultao como el Correccion de si Bessel. A maga grande rasgo, el razon por ello es que ta confia el formula (para el varianza del muestra) na el computacion de maga diferencia de maga observacion del media del muestra, y construio el media mismo del muestra para queda tan cerca como posible del maga observacion, ansina que ta subestima un division por n con el variabilidad.

Definicion de maga poblacional valor

Ta defini con μ como el esperanza (matematica) (el media) de un aleatorio variable $X$ con densidad $f (x)$ : $\mu \equiv \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x$ Por definicion el tipico desviacion $σ$ de $X$ es $\sigma \equiv {\sqrt {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}}={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,\mathrm {d} x}},$ demostrable como igual a ${\textstyle {\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}}}.}$

O, verbalmente, el tipico desviacion es al cuadrao raiz del varianza de $X$ .

El tipico desviacion de un distribucion de probabilidad es el mismo que el de un aleatorio variable que ta tene con aquel distribucion.

Hinde ta tene todo el maga aleatorio variable con un tipico desviacion. Si ta tene el distribucion con maga grueso cola hasta el infinidad, posible inexistente el tipico desviacion, porque posible hinde ta converge el integral. Ta tene el normal distribucion con maga cola hasta el infinidad, pero ta existi gayot el de suyo media y tipico desviacion, porque ta disminui con bastante rapidez el maga cola. Ta tene el distribucion de si Pareto (con parametro $\alpha \in (1,2]$ ) con un media, pero hinde con un tipico desviacion (a maga grande rasgo, infinito el tipico desviacion). Hinde ta tene el distribucion de si Cauchy con un media, ni con un tipico desviacion.

Discreto aleatorio variable

Na el caso donde ta extrae $X$ con maga aleatorio valor de un finito conjunto de maga dato $x 1, x 2, ..., x N$ , y ta tene cada valor con el mismo probabilidad, el tipico desviacion es

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left[(x_{1}-\mu )^{2}+(x_{2}-\mu )^{2}+\cdots +(x_{N}-\mu )^{2}\right]}},{\text{ donde }}\mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N}),$

o, usando con notacion de sumatorio,

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}},{\text{ donde }}\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.$

Si, na lugar de tene con igual maga probabilidad, ta tene el maga valor con maga diferente probabilidad, permite que ta tene $x 1$ con probabilidad $p 1$ , $x 2$ con probabilidad $p 2, ..., x N$ con probabilidad $p N$ . Na este caso, ay queda el tipico desviacion $\sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}},{\text{ donde }}\mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.$

Continuo aleatorio variable

El tipico desviacion de un continuo aleatorio real variable $X$ con funcion de densidad de probabilidad $p (x)$ es $\sigma ={\sqrt {\int _{\mathbf {X} }(x-\mu )^{2}\,p(x)\,\mathrm {d} x}},{\text{ donde }}\mu =\int _{\mathbf {X} }x\,p(x)\,\mathrm {d} x,$

y donde el maga integral son maga definido integral tomao para $x$ extendiendo por todo el conjunto de maga posible valor del aleatorio variable $X$ .

Na el caso de un parametrico familia de maga distribution, expresable el tipico desviacion na maga termino del maga parametro. Por ejemplo, na el caso del distribucion log-normal con maga parametro $μ$ y $σ 2$ , el tipico desviacion es ${\sqrt {\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}}.$

Estimacion

Véase también: Muestral varianza.

Artículo principal: Imparcial estimacion del tipico desviacion.

Posible incuntra con el tipico desviacion de todo un poblacion na maga caso (como el prueba Z) donde ta inclui el muestreo con cada miembro del poblacion. Cuando irraalizable esto, estimao el tipico desviacion σ examinando con un aleatorio muestra extraio del poblacion, y computando con un muestral estadistico, usao como un estimacion del tipico desviacion del poblacion. Tal estadistica llamao un estimador, y el estimador (o el valor del estimador, es deci, el estimacion) llamao un tipico desviacion del muestra, y denotao por s (siguro con maga modificador).

Hinde como na el caso de estima con el media del poblacion, para el que el muestral media es un simple estimador con manada deseable propiedad (sin estadistico sesgo, eficiente, maximo verosimilitud) nuay un unico estimador para el tipico desviacion con todo este maga propiedad, y el hinde sesgao estimacien del tipico desviacion es un problema muy complicao desde el tecnico punto de vista. Na manada situacion, estimao el tipico desviacion usando con el corregio tipico desviacion del muestra (usando con N − 1), definio mas abajo, y na manada situacion conocio esto como el "tipico desviacion del muestra", sin ningun calificador. Sin embargo, hay maga estimador mejor na otro maga respeto: ta produci el hinde corregio tipico desviacion del muestra (usando N) con menos error del cuadrao media, mientras casi completamente ta elimina el sesgo el uso de N − 1.5 (para el normal distribucion).

Hinde corregio tipico desviacion del muestra

Aplicable el formula para el tipico desviacion del poblacion (asumiendo con un finito poblacion) al muestra, usando con el tamaño del muestra como el tamaño del poblacion (masquen puede mucho mas grande el verdadero tamaño del poblacion del que extraio el muestra). El estimador, denotao por s_N, conocio por el hinde corregio tipico desviacion del muestra, o tiene vez el tipico desviacion del muestra (considerao como el entero poblacion), y definio como ta segui: $s_{N}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},$

donde $\{x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{N}\}$ el maga observao valor del maga articulo del muestra, y ${\bar {x}}$ el medio valor de este maga observacion, mientras que ta significa el denominador N con el tamaño del muestra: esto es el cuadrao raiz del muestral varianza, que es el media del maga cuadrao desviacion alrededor del media del muestra.

Esto un consistente estimador (ta converge na probabilidad al valor del poblacion mientras que ta ascende al infinidad el numero de maga muestra) ademas del estimacion de maximo verosimilitud cuando normalmente distribuio el poblacion. Sin embargo, esto un sesgao estimador, porque generalmente demasiao bajo el maga estimacion. Ta disminui el sesgo mientras que ta crece el tamaño del muestra (na otro maga palabra, hay un inverso correlacion), y ansina mas significativo este sesgo para maga chico o moderao tamaño del muestra; para $N>75$ el sesgo es menos de 1%. Ansina por maga muy grande tamaño del muestra, tipicamente aceptable el hinde corregio tipico desviacion del muestra. Tambien ta tene este estimador con un uniformamente mas chico medio cuadratico error que el corregio tipico desviacion del muestra.

Corregio tipico desviacion del muestra

Si el sesgao muestral varianza (el segundo central momento del muestra, que es un estimacion sesgao hacia abajo del varianza del poblacion) usao para computa con un estimacion del tipico desviacion del poblacion, el resultao es $s_{N}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.$

Aqui, ta introduci el cuadrao raiz con mas sesgo hacia abajo, por el desigualdad de si Jensen, ya que el cuadrao raiz es un concavo funcion. Facilmente corregible el sesgo na el varianza, pero menos ansina el sesgo del cuadrao raiz, y ta depende del distribucion na cuestion.

Ta dale el correccion de si Bessel con un estimator sin sesgo para el varianza, usando con N − 1 na lugar de N para produci con el muestral varianza sin sesgo, denotao s²: $s^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}.$

Hinde sesgao este estimador si ta existi el varianza y extraio el maga valor independientemente con reemplazo. Ta corresponde N − 1 al numero de maga grado de libertad na el vector de maga desviacion del media, $\textstyle (x_{1}-{\bar {x}},\;\dots ,\;x_{n}-{\bar {x}}).$

Ta introduci el maga cuadrao raiz con sesgo de nuevo (ya que el cuadrao raiz es un funcion hinde lineal que hinde ta conmuta con el esperanza, i.e. na manada situacion ${\textstyle E[{\sqrt {X}}]\neq {\sqrt {E[X]}}}$ ), produciendo con el corregio tipico desviacion del muestra, denotao por s: $s={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.$

Como explicao mas arriba, mientras que s² un estimador sin sesgo para el varianza del poblacion, s pa un estimador con sesgo para el tipico desviacion del poblacion, masquen marcadamente menos sesgao que el hinde corregio tipico desviacion del muestra. Este estimador comunmente usao y conocio simplemente como el "tipico desviacion del muestra". Posible grande pa para maga chico muestra (N menos de 10). Mientras que ta sube el tamaño del muestra, ta baja el cantidad de sesgo. Ta obtene kita con mas informacion y ta disminui el diferencia entre ${\frac {1}{N}}$ y ${\frac {1}{N-1}}$ .

Hinde sesgao tipico desviacion del muestra

Para el hinde sesgao estimacien del tipico desviacion, nuay ningun formula que ta funciona a traves de todo el maga distribucion, a diferencia del media y el varianza. Na cambio, $s$ usao como un base, y escalao por un factor de correccion para produci con un hinde sesgao estimacion. Para el normal distribucion, un hinde sesgao estimador es $Plantilla:Sfrac$ , donde el factor de correccion (que ta depende de $N$ ) producio na maga termino del funcion gamma, e igual a: $c_{4}(N)\,=\,{\sqrt {\frac {2}{N-1}}}\,\,\,{\frac {\Gamma \left({\frac {N}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {N-1}{2}}\right)}}.$

Ta ocurri esto porque ta segui el muestral distribucion, del tipico desviacion del muestra, con un (escalao) distribucion χ, y el factor de correccion es el media del distribucion χ.

Posible un aproximacion, con el reemplazo de $N - 1$ por $N - 1.5$ , produciendo con: ${\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{N-1.5}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},$

Ta descompone cuadraticamente (como $Plantilla:Sfrac$ ) el error na este aproximacion, y es adecuao para todo salvo el maga mas chico muestra o el mas alto precision: para $N = 3$ el sesgo es igual a 1.3%, y para $N = 9$ el bias es ya menor que 0.1%.

Un mas preciso aproximacion es el reemplazo de $N - 1.5$ mas arriba con $N − 1.5 + Plantilla:Sfrac$ .

Para otro maga distribucion, ta depende del distribucion el correcto formula, pero un general regla es el uso de un refinamiento del aproximacion: ${\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{N-1.5-{\frac {1}{4}}\gamma _{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},$

donde ta denota $γ 2$ con el exceso de curtosis del poblacion. O conocio de antemano este curtosis (para cuanto distribucion), o estimao del maga dato.

Intervalo de confianza de un muestreao tipico desviacion

Véanse también: Margen de error, Varianza#Distribucion del muestral varianza y Distribucion t de si Student#Robusto parametrico modelao.

Hinde absolutamente preciso el tipico desviacion que ta obtene kita muestreando con un distribucion, y por maga matematico razon (explicao aqui por el intervalo de confianza) y para maga practico razon de medicion (error de medicion). Descriptible el matematico efecto por el intervalo de confianza o IC.

Para mostra paquemodo ay estrecha un mas grande muestra con el intervalo de confianza, considera con el maga siguiente ejemplo: Ta tene un chico poblacion de $N = 2$ con solo un grado de libertad para estima con el tipico desviacion. El resultao es que ta extende un IC de 95% del TD desde 0.45 × TD hasta 31.9 × TD; el maga factor aqui son como ta segui:

$\Pr \left(q_{\frac {\alpha }{2}}<k{\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}<q_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha ,$

donde $q_{p}$ es el aca- $p$ cuantil del distribución χ² con $k$ maga grado de libertad, y $1 - α$ es el nivel de confianza. Ta equivale esto al siguiente:

$\Pr \left(k{\frac {s^{2}}{q_{1-{\frac {\alpha }{2}}}}}<\sigma ^{2}<k{\frac {s^{2}}{q_{\frac {\alpha }{2}}}}\right)=1-\alpha .$

Con $k = 1$ , $q 0.025 = 0.000982$ y $q 0.975 = 5.024$ . Ta dale kanaton el maga reciproco del maga cuadrao raiz de este dos maga numero con el maga factor 0.45 y 31.9 visto arriba.

Ta tene un mas grande poblacion de $N = 10$ con 9 maga grado de libertad para estima con el tipico desviacion. Ta dale kanaton el maga mismo computacion como arriba con, na este caso, un IC de CI extendiendo desde 0.69 × TD hasta 1.83 × TD. Ansina hasta con un muestral poblacion de 10, puede pa el verdadero TD queda casi un factor de 2 mas alto que el muestreao TD. Para un muestral poblacion $N = 100$ , ta baja esto a 0.88 × TD hasta 1.16 × TD. Para queda mas cierto que el muestreao TD es cerca del verdadero TD, ta necesita kita muestrea con un gran numero de maga punto.

Usable este maga mismo formula para obtene con maga intervalo de confianza na el varianza del maga residual de un maga minimo cuadrao ajustao al estandar normal distribucion, donde ahora $k$ el numero de maga grado de libertad para error.

Maga limite na el tipico desviacion

Para un conjunto de $N > 4$ maga dato sobre un rango de maga valor $R$ , ta dale $s = 0.6 R$ con un superior limite na el tipico desviacion $s$ . Ta sigue un estimacion (del tipico desviacion para $N > 100$ maga dato considerao aproximadamente normal) del heuristica de que ya queda el 95% del area debajo del normal curva mas o menos na dos maga tipico desviacion a ambo lado del media, ansina que, con 95% de probabildad, ta representa el total rango de maga valor $R$ con cuatro maga tipico desviacion para que $s \approx R /4$ . Util este llamao regla de rango para estima con el tamaño del muestra, debio a que mas facil estima con el rango de maga posible valor que con el tipico desviacion. Disponible, para otro maga valor de $N$ y para maga hinde normal distribucion, otro maga divisor $K (N)$ del rango tal que $s \approx R / K (N)$ .

Maga identidad y maga matematico propiedad

Invariante el tipico desviacion bajo maga cambio de ubicacion, y ta escala directamente con el escala del aleatorio variable. Ansina, para un constant $c$ y maga aleatorio variable $X$ y $Y$ : ${\begin{aligned}\sigma (c)&=0\\\sigma (X+c)&=\sigma (X),\\\sigma (cX)&=|c|\sigma (X).\end{aligned}}$

Puede el tipico desviacion, del suma de dos maga aleatorio variable, relacionao con el de ellos maga individuo tipico desviacion y el covarianza entre ellos:

$\sigma (X+Y)={\sqrt {\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} (Y)+2\,\operatorname {cov} (X,Y)}}.\,$

donde ta representa $\textstyle \operatorname {var} \,=\,\sigma ^{2}$ y $\textstyle \operatorname {cov}$ con el varianza y covarianza, respectivamente.

Puede el el calculacion del suma de maga cuadrao desviacion con el maga momento calculao directamente del maga dato. Na el siguiente formula, ta significa $E$ con el esperao valor, i.e. el media.

$\sigma (X)={\sqrt {\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}}}.$

Computable el tipico desviacion del muestra como:

$s(X)={\sqrt {\frac {N}{N-1}}}{\sqrt {\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]}}.$

Para un finito poblacion con maga igual probabilidad a todo el maga punto, ta tene kita con

${\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-{\bar {x}}^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)^{2}}},$

que ta significa que el tipico desviacion igual al cuadrao raiz del diferencia entre el media del maga cuadrao del maga valor y el cuadrao del medio valor.

Para un demostracion, y para un analogo resultao para el tipico desviacion del muestra, mira con Maga algoritmo para calcula con el varianza.

Interpretacion y aplicacion

Véanse también: Intervalo de prediccion y Intervalo de confianza.

Ta significa un gran tipico desviacion que puede divergi el maga punto de maga dato lejos del media, y ta indica un chico tipico desviacion que agrupao ellos muy cerca del media.

Por ejemplo, ta tene cada uno del tres maga poblacion {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} and {6, 6, 8, 8} con un media de 7. El de ellos maga tipico desviacion son 7, 5 y 1, respectivamente. Ta tene el tercer poblacion con un tipico desviacion mucho menor que el otro dos maga porque ya queda el de suyo maga valor todo cerca de 7. Ta tene este maga tipico desviacion con el maga mismo unidad que el maga punto de maga dato mismo. Si, por ejemplo, ta representa el conjunto de maga dato {0, 6, 8, 14} con el maga edad de un poblacion de cuatro maga hermano na maga año, el tipico desviacion es 5 maga año. Como otro ejemplo, puede representa el poblacion {1000, 1006, 1008, 1014} con el maga distancia recorrio por cuatro maga atleta, medido na maga metro. Ta tene ele con un media de 1007 maga metro, y un tipico desviacion de 5 maga metro.

Puede servi el tipico desviacion como un medida de incertidumbre. Na fisico ciencia, por ejemplo, ta dale el tipico desviacio reportao de un grupo de maga medicion repetio con el precision de aquel maga medicion. Para decidi si ta concorda el maga medicion con un teorico prediccion, el tipico desviacion de aquel maga medicion es de crucial importancia: si el media del maga medicion es demasiao lejos del prediccion (con el distancia medido na maga tipico desviacion) entonces baka ta requeri el teoria probao con revision. Ta tene razon esto porque ta cae ellos fuera del rango de maga valor razonablemente esperao, si correcto el prediccion y adecuadamente cuantificao el tipico desviacion. Mira con intervalo de prediccion.

Mientras que ta medi gayot el tipico desviacion con el distancia de maga tipico valor del media, tambien disponible otro maga medida. Un ejemplo es el medio desviacion, considerable como un mas directo medida del medio distancia, na comparacion con el Raiz del cuadratico medio error inherente na el tipico desviacion.

Maga ejemplo de maga aplicacion

Na el apreciacion cuanto variacion hay del media ya queda el practico valor de comprende con el tipico desviacion de un conjunto de maga valor.

Maga prueba de maga experimento, maga industria y maga hipotesis

Na manada situacion usao el tipico desviacion para compara con maga dato del real mundo contra un matematico modelo para proba con el modelo. Por ejemplo, na maga industrial aplicacion, para el peso del maga producto que ta sali de un linea de maga producto, puede tene necesidad de cumpli con un valor exigio por el ley. Pesando con un fraccion del maga producto, incuntrable un medio peso, firmi algo diferente que el promedio a largo plazo. Con maga tipico desviacion, calculable un minimo y maximo valor ansina que casi seguro ta queda el medio peso dentro de algun rango (99.9% o mas). Si ta cae ele fuera de este rango entonces baka ta necesita el proceso de produccion con correccion. Tal maga estadistico prueba particularmente importante cuanto el prueba mismo relativamente caro. Por ejemplo, si hay que abri, escurri y pesa con el producto, o si consumio el producto por el prueba.

Na experimental ciencia, usao un teorico modelo del realidad. Convencionalmente ta usa el fisica de maga particulas con un estandar de "5 maga sigma" para el declaracion de un descubrimiento. Ta representa un nivel de cinco maga sigma con un posibilidad entre 3,5 maga millon de que ta dale un aleatorio fluctuacion con el mismo resultao. Necesario este nivel de certidumbre para afirma que descubierto un particula consistente con el boson de si Higgs na dos maga independiente experimento na el CERN, tambien llegando al declaracion del primer deteccion de maga gravitatorio onda.

Atmosferico tiempo

Como un simple ejemplo, considera con el maga tipico diario maximo temperatura para dos maga ciudad, uno na el interior y otro na el costa. Es util entende que El rango de maga diario maximo temperatura para el maga ciudad cercano al costa es menor que el para el maga ciudades del interior. Ansina, mientras que puede tene este dos maga ciudad con el mismo medio maximo temperatura, ay queda el tipico desviacion del diario maximo temperatura para el costero ciudad menos que el del ciudad del interior ya que, na cualquier particular dia, baka el actual maximo temperatura mas cerca del medio maximo temperatura para el ciudad del interior que para el costero.

Maga finanza

Na maga finanza, na manada situacion, usao el tipico desviacion como un medida del financiero riesgo asociao con el maga fluctuacion del maga precio de algun activo (maga accion, maga bono, maga propiedad, etc.), o el riesgo de un portafolio de maga activo (maga mutuo fondo administrao activamente, maga mutuo fondo indexao o maga fondo cotizao na bolsa). El riesgo es un importante factor para determinar con el eficiente gestion de un portafolio de maga inversion, porque ta determina ele con el variacion na el maga rendimiento del activo y/o portafolio, y ta dale al maga inversor con un matematico base para el maga decision de inversion (cosa conocio como moderno teoria del portafolio). El fundamental concepto de riesgo es que a medida que ta aumenta el, ademas ta debe aumenta el retorno esperao de un inversion, un aumento conocio como prima de riesgo. Na otro maga palabra, debe espera el maga inversor con un mayor rendimiento de un inversion cuando ta conlleva aquel inversion con un mayor nivel de riesgo o incertidumbre. Al evalua con el maga inversion, debe el maga inversor estima con el rendimiento esperao ademas del incertidumbre del maga futuro rendimiento. Ta provee el tipico desviacion con un cuantificao estimacion del incertidumbre del maga futuro rendimiento.

Por ejemplo, asumi que debe un inversor elegi entre dos maga accion. Durante el ultimo 20 maga año, ya tene Accion A con un promedio rendimiento del 10 por ciento, con un tipico desviacion de 20 maga porcentual punto (pp), mientras que durante el mismo periodo, ya tene Accion B con un promedio rendimiento del 12 por ciento pero un mas alto tipico desviacion de 30 maga pp. Na cuanto al riesgo y el rendimiento, puede decidi un inversor que Accion A el mas salvo eleccion, porque hinde ta vale el dos maga adicional porcentual punto de rendimiento de Accion B con el maga adicional 10 pp de tipico desviacion (mayor riesgo o incertidumbre del esperao rendimiento). Baka hinde ay alcanza Accion B al inicial inversion (pero ademas baka excede con el inicial inversion) mas a menudo que Accion A na el maga mismo circunstancia, y segun el estimacion ay rendi dos por ciento mas lang, na promedio. Na este ejemplo, el expectativa es que ta gana Accion A con alrededor de 10 por ciento, mas o menos 20 pp (un rango de 30 por ciento a –10 por ciento), alrededor de dos maga tercio del maga futuro rendimiento del año. Al considera con maga mas extremo posible rendimiento o resultao na el futuro, debe un inversor espera con maga resultao de hasta un 10 por ciento mas o menos 60 pp, o un rango de 70 por ciento a –50 por ciento, que ta inclui con maga resultao para tres maga tipico desviacion del promedio rendimiento (alrededor del 99,7 por ciento del maga probable rendimiento).

Para genera con el esperao rendimiento del activo, ta calcula kita con el media (o el aritmetico media) del rendimiento de un valor durante un periodo determinao. Para cada periodo, ta dale el resta del rendimiento esperao del real rendimiento con el diferencia del media. El cuadrao del maga diferencia na cada periodo, y el toma del promedio, es el total varianza del rendimiento del activo. Cuanto mas grande el varianza, tanto mas grande el riesgo llevao por el valor. Ay dale el cuadrao raiz de este varianza con el tipico desviacion del herramienta de inversion na cuestion.

Hinde estacionario maga financiero temporal serie, mientras que el maga estadistico calculacion mas arriba, como el tipico desviacion, aplicable lang a maga estacionario serie. Para aplica con el estadistico herramienta mas arriba a maga hinde estacionario serie, primero hay que transforma con el serie a un estacionario serie, cosa ta permiti con el uso de maga estadistico herramienta que ta tene ya con un valido base de operacion.

Geometrico interpretacion

Para gana con alguna maga geometrico perspicacia y clarificacion, ay comenza kita con un poblacion de tres maga valor, $x 1, x 2, x 3$ . Ta defini esto con un punto $P = (x 1, x 2, x 3)$ na $R 3$ . Considera con el linea $L = Plantilla:Mset$ . Esto el "principal diagonal" pasando por el origen. Si igual el de kanaton tres maga original valor, entonces el tipico desviacion ay cero y ay queda $P$ na $L$ . Ansina hinde irrazonable asumi que el tipico desviacion relacionao al distancia desde $P$ hasta $L$ . Aquel gayot el caso. Para move ortogonalmente desde $L$ hasta el punto $P$ , comenza tu al punto:

$M=\left({\bar {x}},{\bar {x}},{\bar {x}}\right)$

cuyo maga coordenada son el media del maga valor con ellos que ya inicia kita.

Derivacion de

M=\left({\bar {x}},{\bar {x}},{\bar {x}}\right)

Ta queda $M$ na $L$ ansina que $M=(\ell ,\ell ,\ell )$ para algun $\ell \in \mathbb {R}$ .

El linea $L$ ortogonal al vector desde $M$ hasta $P$ . Poreso:

${\begin{aligned}L\cdot (P-M)&=0\\[4pt](r,r,r)\cdot (x_{1}-\ell ,x_{2}-\ell ,x_{3}-\ell )&=0\\[4pt]r(x_{1}-\ell +x_{2}-\ell +x_{3}-\ell )&=0\\[4pt]r\left(\sum _{i}x_{i}-3\ell \right)&=0\\[4pt]\sum _{i}x_{i}-3\ell &=0\\[4pt]{\frac {1}{3}}\sum _{i}x_{i}&=\ell \\[4pt]{\bar {x}}&=\ell \end{aligned}}$

Ta mostra un poco de algebra que el distancia entre $P$ y $M$ (igual al ortogonal distancia entre $P$ y el linea $L$ ) ${\textstyle {\sqrt {\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}}$ es igual al tipico desviacion del vector $(x 1, x 2, x 3)$ , multiplicao por el cuadrao raiz del numero de maga dimension del vector (3 na este caso).

Desigualdad de si Chebyshov

Artículo principal: Desigualdad de si Chebyshov.

Casi nunca ta diferi un observacion del media por mas de cuanto tipico desviacion. Ta garantiza el desigualdad de si Chebyshov que, para cualquier distribucion para el que definio el tipico desviacion, el cantidad de maga dato, dentro de un numero de maga tipico desviacion del media, es al menos tanto como indicao na el siguiente tabla.

Distancia del media	Minimo poblacion
${\sqrt {2}}\,\sigma$	50%
$2\sigma$	75%
$3\sigma$	89%
$4\sigma$	94%
$5\sigma$	96%
$6\sigma$	97%
$k\sigma$	$1-{\frac {1}{k^{2}}}$ ^[1]
${\frac {1}{\sqrt {1-\ell }}}\,\sigma$	$\ell$

Maga regla para el maga normalmente distribuio dato

Ta indica el teorema del central limite que na cuanto al distribucion de un promedio de manada independiente, aleatorio variable, distribuio de identico forma, ta tende esto al famoso normal distribucion na forma de campana, con un funcion de densidad de probabilidad de

$f\left(x,\mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

donde $μ$ el esperanza del maga aleatorio variable, $σ$ igual al tipico desviacion del de ellos distribucion, dividio por $n Plantilla:Frac$ , y $n$ el numero de maga aleatorio variable. El tipico desviacion, poreso, simplemente un variable de escala que ta ajusta con el anchura el curva, masquen ademas ta aparece na el constante de normalizacion.

Si aproximadamente normal un distribucion de maga dato, entonces el proporcion de maga valor de maga dato dentro de $z$ maga tipico desviacion del media definio por:

${\text{Proporcion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)$

donde $\textstyle \operatorname {erf}$ el funcion error. Ta dale el funcion de distribucion con el proporcion menos que o igual a un numero, $x$ :^[2]

${\text{Proporcion}}\leq x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right].$

Si aproximadamente normal un distribucion de maga dato, entonces alrededor de 68 por cientro del maga valor de maga dato dentro de un tipico desviacion del media (matematicamente, $μ \pm σ$ , donde $μ$ el aritmetico media),alrededor de 95 por ciento dentro de dos maga tipico desviacion ( $μ \pm 2 σ$ ), y alrededor de 99.7 por ciento dentro de tres maga tipico desviacion ( $μ \pm 3 σ$ ). Esto conocio como el regla 68–95–99.7, o el empirico regla.

Para manada valor de $z$ , el porcentaje de maga valor asumio queda dentro y fuera del simetrico intervalo, $CI = (- z σ, z σ)$ , son el maga siguiente:

Intervalo de confianza	Proporcion adentro	Proporcion afuera
Intervalo de confianza	Porcentaje	Porcentaje	Fraccion
0.318639 $σ$	25%	75%	3 / 4
0.674490 $σ$	50%	50%	1 / 2
0.977925 $σ$	66.6667%	33.3333%	1 / 3
0.994458 $σ$	68%	32%	1 / 3.125
1 $σ$	68.2689492%	31.7310508%	1 / 3.1514872
1.281552 $σ$	80%	20%	1 / 5
1.644854 $σ$	90%	10%	1 / 10
1.959964 $σ$	95%	5%	1 / 20
2 $σ$	95.4499736%	4.5500264%	1 / 21.977895
2.575829 $σ$	99%	1%	1 / 100
3 $σ$	99.7300204%	0.2699796%	1 / 370.398
3.290527 $σ$	99.9%	0.1%	1 / 1000
3.890592 $σ$	99.99%	0.01%	1 / 10000
4 $σ$	99.993666%	0.006334%	1 / 15787
4.417173 $σ$	99.999%	0.001%	1 / 100000
4.5 $σ$	Plantilla:Gaps	Plantilla:Gaps	1 / 147159.5358 6.8 / 1000000
4.891638 $σ$	99.9999%	0.0001%	1 / 1000000
5 $σ$	99.9999426697%	0.0000573303%	1 / 1744278
5.326724 $σ$	99.99999%	0.00001%	1 / 10000000
5.730729 $σ$	99.999999%	0.000001%	1 / 100000000
6 $σ$	99.9999998027%	0.0000001973%	1 / 506797346
6.109410 $σ$	99.9999999%	0.0000001%	1 / 1000000000
6.466951 $σ$	99.99999999%	0.00000001%	1 / 10000000000
6.806502 $σ$	99.999999999%	0.000000001%	1 / 100000000000
7 $σ$	Plantilla:Gaps	0.000000000256%	1 / 390682215445

Relacion entre el tipico desviacion y el media

Son el media y el tipico desviacion de un conjunto de maga dato dos maga descriptivo estadistico usualmente listao junto. Na cierto sentio, el tipico desviacion es un "natural" medida de maga medida de dispersion si el centro del maga dato medido alrededor del media. Esto es porque el tipico desviacion del media es menor que de cualquier otro punto. El preciso declaracion el siguiente: supone que $x 1, ..., x n$ son maga real numero y defini con el funcion:

$\sigma (r)={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-r\right)^{2}}}.$

Usando con calculo o completando con el cuadrao, posible demostra que ta tene $σ (r)$ con un distinto minimo al media:

$r={\bar {x}}.\,$

Tambien medible el variabilidad por el coeficiente de variacion, el razon del tipico desviacion al media. Es un adimensional magnitud.

Tipico desviacion del media

Artículo principal: Tipico error del media.

Na manada situacion, ta quere kita con informacion acerca del precision del media obtenio por el de kanaton maga calculacion. Puede obtene kita con tal informacion determinando con el tipico desviacion del muestreao media. Asumiendo con el estadistico independencia del maga valores del muestra, relacionao el tipico desviacion del media al tipico desviacion del distribucion por:

$\sigma _{\text{media}}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sigma$

donde $N$ el numero de maga observacion na el muestra usao para estima con el media. Facilmente probable gracias a (mira con maga basico propiedad del varianza): ${\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&\equiv \sigma _{X}^{2}\\\operatorname {var} (X_{1}+X_{2})&\equiv \operatorname {var} (X_{1})+\operatorname {var} (X_{2})\\\end{aligned}}$

(Asumio el estadistico independencia.) $\operatorname {var} (cX_{1})\equiv c^{2}\,\operatorname {var} (X_{1})$

ansina que ${\begin{aligned}\operatorname {var} ({\text{media}})&=\operatorname {var} \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)={\frac {1}{N^{2}}}\operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\operatorname {var} (X_{i})={\frac {N}{N^{2}}}\operatorname {var} (X)={\frac {1}{N}}\operatorname {var} (X).\end{aligned}}$

cosa ta resulta na: $\sigma _{\text{media}}={\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}.$

Para estima con el tipico desviacion del media $σ media$ hay que sabe con el tipico desviacion del entero poblacion $σ$ de antemano. Sin embargo, na el mayoria del maga aplicacion, desconocio este parametro. Por ejemplo, si ta realiza un cientifico con un serie de 10 maga medicion de un previamente desconocio cantidad na un laboratorio, calculable el resultando muestral media y muestral tipico desviacion, pero incalculable el tipico desviacion del media. Sin embargo, estimable el tipico desviacion del entero poblacion del muestra, y entonces obtenible un estimacion para el estandar error del media.

Maga metodo para rapido calculacion

Véase también: Maga algoritmo para calcula con el varianza.

Puede representa el dos maga siguiente formula con un acumulao (repetidamente actualizao) tipico desviacion. Computao un conjunto de dos maga suma de maga poder $s 1$ y $s 2$ a traves de un conjunto de $N$ maga valor de $x$ , denotao como $x 1, ..., x N$ :

$s_{j}=\sum _{k=1}^{N}{x_{k}^{j}}.$

Gracias al maga resultao de este maga acumulao sumacion, posible usa na cualquier momento con el maga valor $N$ , $s 1$ , $s 2$ para computa con el actual valor del acumulao tipico desviacion:

$\sigma ={\frac {\sqrt {Ns_{2}-s_{1}^{2}}}{N}}$

donde $N$ , como mencionao mas arriba, el tamaño del conjunto de maga valor (es deci, $s 0$ ).

Similarmente para el muestral tipico desviacion,

$s={\sqrt {\frac {Ns_{2}-s_{1}^{2}}{N(N-1)}}}.$

Na un implementacion por computadora, mientras que ta amplia el dos maga suma de $s j$ , hay que considera con el error de redondeo y el aritmetico desbordamiento. Ta calcula el metodo mas abajo con el metodo de maga acumulao suma con maga reducio error de redondeo. Esto un algoritmo de "un paso" para calcula con el varianza de $n$ maga muestra sin el necesidad de almacena con el previo dato durante el calculacion. Ay resulta el aplicacion de este metodo, a un temporal serie, na maga sucesivo valor de tipico desviacion correspondiendo con $n$ maga punto de maga dato mientras que ta amplia $n$ con cada nuevo muestra, na cambio de un calculacion de un corredero ventana de constante anchura.

Para $k = 1, ..., n$ : ${\begin{aligned}A_{0}&=0\\A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {x_{k}-A_{k-1}}{k}}\end{aligned}}$

donde $A$ el medio valor. ${\begin{aligned}Q_{0}&=0\\Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {k-1}{k}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)^{2}=Q_{k-1}+\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\left(x_{k}-A_{k}\right)\end{aligned}}$

Nota: $Q 1 = 0$ ya que $k - 1 = 0$ o $x 1 = A 1$ .

Varianza de un muestra: $s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{n-1}}$

Varianza de un poblacion: $\sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{n}}$

Ponderao calculo

Cuando pondereo el maga valor $x_{k}$ por maga desigual peso $w_{k}$ , el maga suma de maga poder $s 0, s 1, s 2$ individuamente computao ansina:

$s_{j}=\sum _{k=1}^{N}w_{k}x_{k}^{j}.\,$

Y hinde ta cambia el maga ecuacion para el tipico desviacion. $s 0$ ahora el suma del maga peso y hinde el numero de maga muestra $N$ .

Tambien aplicable, masquen con un poco de adicional computacional complejidad, el incremental metodo con maga reducio error de redondeo.

Hay que computa con un acumulao suma de maga peso para cada $k$ desde 1 hasta $n$ : ${\begin{aligned}W_{0}&=0\\W_{k}&=W_{k-1}+w_{k}\end{aligned}}$

y reemplaza con maga lugar donde $1/ k$ usao mas arriba por $w_{k}/W_{k}$ : ${\begin{aligned}A_{0}&=0\\A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {w_{k}}{W_{k}}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\\Q_{0}&=0\\Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {w_{k}W_{k-1}}{W_{k}}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)^{2}=Q_{k-1}+w_{k}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\left(x_{k}-A_{k}\right)\end{aligned}}$

Na el final division, $\sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}}}\,$

y $s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}-1}},$

o $s_{n}^{2}={\frac {n'}{n'-1}}\sigma _{n}^{2},$

donde $n$ el total numero de maga elemento, y $Plantilla:Prime$ el numero de maga elemento con maga peso hinde cero.

Igual el maga formula mas arriba al maga mas simple mas arriba, si igual el maga peso a uno.

Historia

Ya usa si Karl Pearson con el termino tipico desviacion (English: standard deviation) por primer vez na escritura, despues del de suyo uso del termino na maga conferencia. Ya reemplaza esto con maga anterior alternativo nombre para el mismo idea: por ejemplo, ya usa si Gauss con medio error (Plantilla:Lang-de).

Indice de tipico desviacion

Usao el indice de tipico desviacion na maga externo evaluacion del calidad, particularmente para el maga clinico laboratorio. Calculao ansina: ${\text{ITD}}={\frac {{\text{Media del laboratorio}}-{\text{Media del grupo de consenso}}}{\text{Tipico desviacion del grupo de consenso}}}$

Maga superior dimension

El elipse (verde) del tipico desviacion de un normal distribucion de dos maga dimension.

Na dos maga dimension, ilustrable el tipico desviacion por el elipse del tipico desviacion (mira con Multivariao normal distribucion § Geometrico interpretacion).