Integral el·líptica

Una integral el·líptica és una integral de la forma:

$\int {A(x)+B(x){\sqrt {S(x)}} \over C(x)+D(x){\sqrt {S(x)}}}\,dx$

o de forma alternativa com:

$\int {A(x)\,dx \over B(x){\sqrt {S(x)}}}$

on $A$ , $B$ , $C$ i $D$ són polinomis En $x$ i $S$ és un polinomi de grau 3 o 4.

La denominació integral el·líptica parteix dels primers problemes on van tenir lloc aquestes integrals, relacionats amb el càlcul de la longitud de segments d'el·lipse.

Les integrals el·líptiques poden veure's com a generalitzacions de les funcions trigonomètriques inverses. Les integrals el·líptiques proporcionen solucions a una classe de problemes una mica més àmplia que les funcions trigonomètriques inverses elementals, per exemple el càlcul de la longitud d'arc d'una circumferència només requereix les funcions trigonomètriques inverses, però el càlcul de la longitud d'arc d'una el·lipse requereix integrals el·líptiques. Un altre bon exemple és el pèndol, el moviment per a petites oscil·lacions pot representar per funcions trigonomètriques, però per oscil·lacions més grans requereix l'ús de funcions el·líptiques basades en les integrals el·líptiques.

Càlcul

Totes les integrals el·líptiques del tipus anterior poden ser reescrites en termes en forma de suma de funcions elementals i tres tipus "bàsics" d'integrals el·líptiques (anomenats de primera espècie, de segona espècie i de tercera espècie. Per veure això escrivim la integral el·líptica en la forma:

$\int {\frac {P(w,x)}{Q(w,x)}}\ dx$

On $w$ és una funció de $w$ , tal que $w^{2}$ és un polinomi de tercer o quart grau, que conté almenys una potència senar de $w$ (Abramowitz i Stegun, 1972, p. 589).

Bibliografia

Abramowitz, M. & Stegun, I.A. (Eds.): "Elliptic Integrals", Ch 17 in Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs and Mathematical Tables , 9 printing, New York: Dover, pp.587-607, 1972.

Vegeu també