Popločanje s kvadratima čije su stranice po dužini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi U matematici , Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definisan sljedećom rekurzivnom relacijom :
F
(
n
)
:=
{
0
ako je
n
=
0
;
1
ako je
n
=
1
;
F
(
n
−
1
)
+
F
(
n
−
2
)
ako je
n
>
1.
{\displaystyle F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{ako je }}n=0;\\1&{\mbox{ako je }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{ako je }}n>1.\\\end{cases}}}
To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi (niz A000045 u OEIS )
, također označeni kao Fn , za n = 0, 1, … , su:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514299, 832040... Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F 1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F 0 = 0.
Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci , iako su ranije opisani u Indiji .[ 1] [ 2]
Ako znamo Fibonaccijeve brojeve
F
m
{\displaystyle F_{m}}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
F
m
+
n
{\displaystyle F_{m+n}}
F
m
+
n
=
F
(
m
−
1
)
F
n
+
F
m
F
n
+
1
{\displaystyle F_{m+n}=F_{(m-1)}F_{n}+F_{m}F_{n+1}}
Također imamo
F
2
n
=
F
n
(
F
n
+
1
+
F
n
−
1
)
{\displaystyle F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})}
F
3
n
=
F
n
+
1
3
+
F
n
3
+
F
n
−
1
3
{\displaystyle F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}+F_{n-1}^{3}}
Uopšteno
F
m
n
=
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
(
F
n
k
(
F
n
−
1
m
−
k
{\displaystyle F_{mn}=\textstyle \sum _{k=1}^{m}{{\binom {m}{k}}(F_{n}^{k}(F_{n-1}^{m-k}}}
Binetova formula je eksplicitno izražavanje vrijednosti
F
n
{\displaystyle F_{n}}
funkcije od
n
{\displaystyle n}
F
n
=
(
1
+
5
2
)
n
−
(
1
−
5
2
)
n
5
=
φ
n
−
(
−
φ
)
−
n
φ
−
(
−
φ
)
−
1
=
φ
n
−
(
−
φ
)
−
n
2
φ
−
1
,
{\displaystyle F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},}
gdje je
φ
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
zlatni presjek . U tom slučaju
φ
{\displaystyle \varphi }
(
−
φ
)
−
1
=
1
−
φ
{\displaystyle (-\varphi )^{-1}=1-\varphi }
jednačine
x
2
−
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{2}-x-1=0}
Iz Binetove formule za sve
n
⩾
0
{\displaystyle n\geqslant 0}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
φ
n
5
{\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}
cijelom broju tj.
F
n
=
⌊
φ
n
5
⌉
{\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }
Za
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
F
n
∼
φ
n
5
{\displaystyle F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}
Formula se može analitiči prikazati na sljedeći način
F
z
=
1
5
(
φ
z
−
cos
π
z
φ
z
)
.
{\displaystyle F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}}\right).}
pri tome
F
z
+
2
=
F
z
+
1
+
F
z
{\displaystyle F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}}
kompleksni broj
U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj
ϕ
=
1
+
5
2
{\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
x
2
−
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{2}-x-1=0}
x
n
−
x
n
−
1
+
x
n
−
2
=
0
{\displaystyle x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}=0}
Iz Binetove formule
1
5
(
ϕ
n
−
(
−
ϕ
)
−
n
)
=
φ
n
−
(
−
φ
)
−
n
2
φ
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}(\phi ^{n}-(-\phi )^{-n})={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}}
Gdje je
φ
=
1
+
5
2
≈
1.61803
39887
⋯
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\cdots }
φ
−
1
=
1
−
5
2
=
1
−
φ
=
−
1
φ
≈
−
0.61803
39887
⋯
{\displaystyle \varphi ^{-1}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }\approx -0.61803\,39887\cdots }
Dalje imamo
φ
n
=
φ
n
−
1
+
φ
n
−
2
{\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}}
i
(
φ
−
1
)
n
=
(
φ
−
1
)
n
−
1
+
(
φ
−
1
)
n
−
2
{\displaystyle (\varphi ^{-1})^{n}=(\varphi ^{-1})^{n-1}+(\varphi ^{-1})^{n-2}}
Za sve vrijednosti a , b definišimo niz
U
n
=
a
φ
n
+
b
(
φ
−
1
)
n
{\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}}
Zadovoljena je i relaciija
U
n
=
a
φ
n
−
1
+
b
(
φ
−
1
)
n
−
1
+
a
φ
n
−
2
+
b
(
φ
−
1
)
n
−
2
=
U
n
−
1
+
U
n
−
2
{\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n-1}+b(\varphi ^{-1})^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b(\varphi ^{-1})^{n-2}=U_{n-1}+U_{n-2}}
Neka su
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
U
0
=
0
{\displaystyle U_{0}=0}
U
1
=
1
{\displaystyle U_{1}=1}
Brojevi
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
+
b
=
0
{\displaystyle a+b=0}
a
φ
n
+
b
(
φ
−
1
)
n
=
1
{\displaystyle a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}=1}
Odnosno imamo
a
=
1
φ
−
φ
−
1
=
1
5
,
b
=
−
a
{\displaystyle a={\frac {1}{\varphi -\varphi ^{-1}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\,b=-a}
Uzimajući
U
0
{\displaystyle U_{0}}
U
1
{\displaystyle U_{1}}
U
n
=
a
φ
n
+
b
(
φ
−
1
)
n
=
1
{\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}=1}
Odnosno
a
=
U
1
−
U
0
φ
−
1
5
{\displaystyle a={\frac {U_{1}-U_{0}\varphi ^{-1}}{\sqrt {5}}}}
b
=
U
0
φ
−
U
1
5
{\displaystyle b={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}}
Posmatrajmo sada
|
(
φ
−
1
)
n
5
|
<
1
2
{\displaystyle \left|{\frac {(\varphi ^{-1})^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}}
Za
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
φ
n
5
{\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}
F
n
=
[
φ
n
5
]
,
n
≥
0
,
{\displaystyle F_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0,}
ili
F
n
=
⌊
φ
n
5
+
1
2
⌋
,
n
≥
0.
{\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\ n\geq 0.}
Slično ako je F>0 Fiboniccijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.
n
(
F
)
=
⌊
log
φ
(
F
⋅
5
+
1
2
)
⌋
,
{\displaystyle n(F)={\bigg \lfloor }\log _{\varphi }\left(F\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}\right){\bigg \rfloor },}
gdje se
log
φ
(
x
)
{\displaystyle \log _{\varphi }(x)}
Primjer
log
φ
(
x
)
=
ln
(
x
)
/
ln
(
φ
)
=
log
10
(
x
)
/
log
10
(
φ
)
{\displaystyle \log _{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log _{10}(x)/\log _{10}(\varphi )}
Najveći zajednički djelitelj dva Fibonaccijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa
Posljedice
F
m
{\displaystyle F_{m}}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
F
m
{\displaystyle F_{m}}
F
3
=
2
{\displaystyle F_{3}=2}
m
=
3
k
{\displaystyle m=3k}
F
m
{\displaystyle F_{m}}
F
4
=
3
{\displaystyle F_{4}=3}
m
=
4
k
{\displaystyle m=4k}
F
m
{\displaystyle F_{m}}
F
5
=
5
{\displaystyle F_{5}=5}
m
=
5
k
{\displaystyle m=5k}
F
m
{\displaystyle F_{m}}
m
{\displaystyle m}
m
=
4
{\displaystyle m=4}
F
13
=
233
{\displaystyle F_{13}=233}
Obratno ne važi tj ako je
m
{\displaystyle m}
F
m
{\displaystyle F_{m}}
F
19
=
4181
=
37
∗
113
{\displaystyle F{19}=4181=37*113}
Njegov polinom
x
2
−
x
−
1
{\displaystyle x^{2}-x-1}
φ
{\displaystyle \varphi }
−
φ
−
1
{\displaystyle -\varphi ^{-1}}
lim
n
→
∞
F
n
+
1
F
n
=
φ
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}
1964 godine Cochn je dokazao da su u nizu Fibonaccijevih brojeva jedini kvadrati brojevi sa indeksom 0,,1,2,12
F
0
=
0
2
=
0
{\displaystyle F_{0}=0^{2}=0}
F
1
=
1
2
=
1
{\displaystyle F_{1}=1^{2}=1}
F
2
=
1
2
=
1
{\displaystyle F_{2}=1^{2}=1}
F
12
=
12
2
=
144
{\displaystyle F_{12}=12^{2}=144}
Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je
x
+
x
2
+
2
x
3
+
3
x
4
+
5
x
5
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
F
n
x
n
=
x
1
−
x
−
x
2
{\displaystyle x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}
Prvih 21 Fibonaccijevih brojeva
F
n
{\displaystyle F_{n}}
n
=
0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
.20
{\displaystyle n=0,1,2,3,....20}
[ 3]
F 0
F 1
F 2
F 3
F 4
F 5
F 6
F 7
F 8
F 9
F 10
F 11
F 12
F 13
F 14
F 15
F 16
F 17
F 18
F 19
F 20
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.
F
n
−
2
=
F
n
−
F
n
−
1
,
{\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1},}
F
−
n
=
(
−
1
)
n
+
1
F
n
.
{\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.}
Niz brojeva
F
n
{\displaystyle F_{n}}
n
=
−
8
,
−
7
,
.
.
.
.0
,
1
,
2
,
.
.
.
.8
{\displaystyle n=-8,-7,....0,1,2,....8}
[ 4]
F −8
F −7
F −6
F −5
F −4
F −3
F −2
F −1
F 0
F 1
F 2
F 3
F 4
F 5
F 6
F 7
F 8
−21
13
−8
5
−3
2
−1
1
0
1
1
2
3
5
8
13
21
F
1
+
F
2
+
F
3
+
⋯
+
F
n
=
F
n
+
2
−
1
{\displaystyle F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1}
F
1
+
F
3
+
F
5
+
⋯
+
F
2
n
−
1
=
F
2
n
{\displaystyle F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}}
F
2
+
F
4
+
F
6
+
⋯
+
F
2
n
=
F
2
n
+
1
−
1
{\displaystyle F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1}
F
n
+
1
F
n
+
2
−
F
n
F
n
+
3
=
(
−
1
)
n
{\displaystyle F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}}
F
1
2
+
F
2
2
+
F
3
2
+
⋯
+
F
n
2
=
F
n
F
n
+
1
{\displaystyle F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}}
F
n
2
+
F
n
+
1
2
=
F
2
n
+
1
{\displaystyle F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}}
F
2
n
=
F
n
+
1
2
−
F
n
−
1
2
{\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}}
F
3
n
=
F
n
+
1
3
+
F
n
3
−
F
n
−
1
3
{\displaystyle F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}}
F
5
n
=
25
F
n
5
+
25
(
−
1
)
n
F
n
3
+
5
F
n
{\displaystyle F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}}
Opšte formule
F
n
+
m
=
F
n
−
1
F
m
+
F
n
F
m
+
1
=
F
n
+
1
F
m
+
1
−
F
n
−
1
F
m
−
1
{\displaystyle F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}}
F
(
k
+
1
)
n
=
F
n
−
1
F
k
n
+
F
n
F
k
n
+
1
{\displaystyle F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}}
F
n
=
F
l
F
n
−
l
+
1
+
F
l
−
1
F
n
−
l
{\displaystyle F_{n}^{}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}}
F
n
+
1
=
det
(
1
1
0
⋯
0
−
1
1
1
⋱
⋮
0
−
1
⋱
⋱
0
⋮
⋱
⋱
⋱
1
0
⋯
0
−
1
1
)
{\displaystyle F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}}
F
n
+
1
=
det
(
1
i
0
⋯
0
i
1
i
⋱
⋮
0
i
⋱
⋱
0
⋮
⋱
⋱
⋱
i
0
⋯
0
i
1
)
{\displaystyle \ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}}}
gdje matrice imaju oblik
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
i je imaginarna jedinica.
Fibonaccijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma
F
n
+
1
=
(
−
i
)
n
U
n
(
−
i
2
)
,
{\displaystyle F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right),}
F
2
n
+
2
=
U
n
(
3
2
)
.
{\displaystyle F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).}
Za bilo koji
n
{\displaystyle n}
(
1
1
1
0
)
n
=
(
F
n
+
1
F
n
F
n
F
n
−
1
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}
Posljedica
(
−
1
)
n
=
F
n
+
1
F
n
−
1
−
F
n
2
.
{\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.}
Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je
F
n
+
1
=
F
n
+
5
F
n
2
±
4
2
{\displaystyle F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}\pm 4}}}{2}}}
Fibonaccijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka , životinja i ljudi , sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.
Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:
U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale . Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi. Nedovršeni članak Fibonaccijev broj matematici treba dopuniti. Dopunite ga pravilima Wikipedije.
![{\displaystyle F_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f284c42fe2e2d38c49ba4d1a8a3f16eb5afed8ed)
Nedovršeni članak Fibonaccijev broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.
