Teorema de la llende central

El teorema de la llende central o teorema central de la llende indica que, en condiciones bien xenerales, si S_n ye la suma de n variables aleatories independientes y de varianza non nula pero finita, entós la función de distribución de S_n «avérase bien» a una distribución normal (tamién llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Con éses el teorema asegura qu'esto asocede cuando la suma d'estes variables aleatories ya independientes ye lo suficientemente grande.

Definición

Sía ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ la función de densidá de la distribución normal definida como

$f_{\mu ,\sigma ^{2}}(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;y^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},$

con una media µ y una varianza σ². El casu nel que la so función de densidá sía ${\mathcal {N}}(0,1)$, a la distribución conózse-y como distribución normal#Función de densidá normal estándar.

Defínese S_n como la suma de n variables aleatories, independientes, hermano distribuyíes, y con una media µ y varianza σ² finitas (σ²≠0):

$S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}\,$

de manera que, la media de S_n ye n·µ y la varianza n·σ², yá que son variables aleatories independientes. Con tal de faer más fácil la comprensión del teorema y el so posterior usu, faise una estandarización de S_n como

$Z_{n}\ =\ {\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}$

por que la media de la nueva variable sía igual a 0 y la esviación estándar sía igual a 1. Asina, les variables Z_n van converxer en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinitu. De resultes, si Φ(z) ye la función de distribución de N(0,1), pa cada númberu real z:

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} (Z_{n}\leq z)=\Phi (z)\,$

onde Pr( ) indica probabilidá y lim referir a llende matemática.

Enunciáu formal

De manera formal, normalizada y amacera l'enunciáu del teorema ye:

Teorema de la llende central: Sía ${X_{1}}$, ${X_{2}}$, ..., ${X_{n}}$ un conxuntu de variables aleatories, independientes y hermano distribuyíes con media μ y varianza $0<\sigma ^{2}<\infty$. Sía $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}\,$ Entós $\lim _{n\to \infty }\Pr \left({\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\leq z\right)=\Phi (z)\,$.

Ye bien común atopalo cola variable estandarizada Z_n en función de la media muestral ${\overline {X}}_{n}$,

${\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}},$

yá que son equivalentes, según atopalo en versiones ensin normalizar como pue ser:

Teorema (de la llende central): Sía ${X_{1}}$, ${X_{2}}$, ..., ${X_{n}}$ un conxuntu de variables aleatories, independientes y hermano distribuyíes d'una distribución con media μ y varianza σ2≠0. Entós, si n ye abondo grande, la variable aleatoria ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ tien aproximao una distribución normal con $\mu _{\bar {X}}=\mu$ y $\sigma _{\bar {X}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$.

Nota: ye importante remarcar qu'esti teorema nun diz nada alrodiu de la distribución de ${X_{i}}$, sacante la esistencia de media y varianza.

Propiedaes

• El teorema de la llende central garantiza una distribución normal cuando n ye abondo grande.

• Esisten distintes versiones del teorema, en función de les condiciones utilizaes p'asegurar la converxencia. Una de les más simples establez que ye abonda que les variables que se suman sían independientes, hermano distribución de probabilidá distribuyíes, con valor esperáu y varianza finitas.

• L'aproximamientu ente los dos distribuciones ye, polo xeneral, mayor nel centru de les mesmes que nos sos estremos o coles, motivu pol cual prefierse'l nome "teorema de la llende central" ("central" califica a la llende, más que al teorema).

• Esti teorema, perteneciente a la teoría de la probabilidá, atopa aplicación en munchos campos rellacionaos, tales como la inferencia estadística o la teoría de renovación.

Varianza nula o infinita

Nel casu de n variables aleatories X_i independientes y hermano distribuyíes, caúna d'elles con varianza nula o infinita, la distribución de les variables:

$S_{n}={\frac {X_{1}+\dots +X_{n}}{n}}$

nun converxen en distribución escontra una normal. De siguío preséntense los dos casos por separáu.

Varianza infinita

Considérese'l casu de variables que siguen una distribución de Cauchy:

$F_{X_{i}}(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan x$

Nesti casu puede demostrase que la distribución asintótica de S_n vien dada por otra distribución de Cauchy, con menor varianza:

$F_{S_{n}}(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {x}{n}}$

Pa otres distribuciones de varianza infinita nun ye fácil dar una espresión zarrada pa la so distribución de probabilidá anque la so función carauterística sí tien una forma senciella, dada pol teorema de Lévy-Khintchine:

$\varphi _{S_{n}}(t)=\exp \left[ist-c|t|^{\alpha }\left(1+i\gamma \ {\frac {t}{|t|}}o(t,\alpha )\right)\right]$

onde $c\geq 0,-1\geq \gamma \geq 1,0<\alpha \geq 2$ y:

$o(t,\alpha )={\begin{cases}\tan {\cfrac {\pi \alpha }{2}}&\alpha \neq 1\\{\cfrac {2}{\pi }}\ln |t|&\alpha =1\end{cases}}$

Les condiciones anteriores equivalen a qu'una distribución de probabilidá sía una distribución estable.

Varianza nula

Esti casu correspuende trivialmente a una función dexenerada tipu delta de Dirac que la so función de distribución vien dada por:

$F_{X_{i}}(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (s-x_{0})\ ds={\begin{cases}0&x<x_{0}\\1&x\geq x_{0}\end{cases}}$

Nesti casu resulta que la variable $S_{n}$ trivialmente tien la mesma distribución que caúna de les variables independientes.

Ver tamién

• Llei de los grandes númberos
• Distribución normal
• Teorema de De Moivre-Laplace

Referencies

• Teorema central de la llende (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
• Behar Gutiérrez, Roberto; Grima Cintes, Pere (2004). 55 respuestes a duldes típiques d'Estadística editorial= Edición Díaz de Santos, S.A (en castellanu), páx. 187-189. ISBN 84-7978-643-4.

Enllaces esternos

• Wikimedia Commons acueye conteníu multimedia sobre Teorema de la llende central.

• Datos: Q190391
• Multimedia: Central limit theorem