Teoría de nuedos

La teoría de nuedos ye la caña de la topoloxía que s'encarga d'estudiar l'oxetu matemáticu que abstrae la noción cotidiana de nuedu.

Al escuchar la pallabra nuedu, vienen a nuesa mente imáxenes como los gordones d'unos zapatos, les lluries de los marineros ya inclusive alcordances como'l d'una estensión llétrica malo de desanoyar. Toes eses imáxenes son exemplos de nuedos, que difieren bien pocu del conceutu matemáticu de nuedu.

Un nuedu, una vegada pegaos los sos estremos, representar por una curva simple y zarrao en R³; o de manera más amplia, por encaxes o embebimientos (embeddings) de la circunferencia en diversos espacios topolóxicos ambiente.

Definición

La definición matemática de nuedu pretende dar una descripción rigorosa de lo que ye'l nuedu y, con ello, poder dar respuesta a qué ye lo qu'estrema un nuedu d'otru. La idea básica d'esta definición ye que, pa da-y cabida a qu'un nuedu non pueda desanoyase, péguense les puntes estremes del nuedu.

Por ello dizse qu'un nuedu ye un encaxe o embebimiento de la circunferencia nel espaciu ambiente ( $R^{3}$ , $S^{3}$ o dalguna otra 3-variedá).

Per otru llau, el qu'un nuedu puédase deformar a otru, en matemátiques descríbese como la esistencia una isotopía del ambiente ente dambos encaxes.

Formalmente falando, unu puede dicir qu'un nuedu en ( $R^{3}$ o en $S^{3}$ ) ye una clase d'equivalencia d'encaxes de la 1-esfera ( S¹= {x $\in$ R² : |x|=1 } ) en ( $R^{3}$ o na 3-esfera). La clase ta dada pola equivalencia isotópica de funciones. Esto ye, dos encaxes son equivalentes si esiste una isotopía del ambiente ente dambos.

Tamién pueden estudiase nuedos nel Toru: $S^{1}\times S^{1}$ .

Historia

La Teoría de nuedos naz a la fin del sieglu XVIII, colos estudios d'A.T.Vandermonde, C.F. Gauss y F. Klein.

A finales del sieglu XIX, empecipióse un estudiu sistemáticu de la teoría, cuando los matemáticos y físicos dedicar a tabular nuedos. Lord Kelvin (1867) propunxo la idea de que los átomos yeren nuedos, formaos por pequeños vórtices o corrientes zarraes d'éter. Creía que, si clasificaba tolos nuedos posibles, podría esplicar cómo los átomos absuerben y emiten lluz. Agora sabemos qu'esta idea ye incorreuta. El físicu Peter Tait pasó munchos años realizando una llista de nuedos cola creencia de que taba creando una tabla d'elementos. Cuando'l éter nun foi detectáu nel esperimentu de Michelson y Morley, la teoría de los átomos modelaos por aciu nuedos foi refugada, y la teoría de los nuedos perdió parte del so interés pa los físicos.

De primeres del sieglu XX, xunto col desenvolvimientu de la topoloxía, topólogos como Max Dehn, J. W. Alexander, y Kurt Reidemeister investigaron los nuedos.

Pero los desarrollos más importantes d'esta teoría produciéronse na segunda parte del sieglu XX, gracies a les contribuciones de J.H.Conway, V.F.R.Jones, L.H. Kauffman y munchos otros. Anguaño, la teoría de nuedos tien aplicaciones en teoría de cuerdes, na gravedá cuántica, nel estudiu de replicación y recombinación del ADN, y n'árees de la mecánica.

Importa aprofiar que los complementos de dellos nuedos tienen a 3-variedaes como complementos y estes son oxetos d'intensu estudiu.

Diagrames de nuedos y movimientos de Reidemeister

Un nuedu descríbese xeneralmente per mediu del so diagrama, que representa la so proyeición sobre'l planu, destacando en cada encruz la diferencia ente'l tramu que ta enriba y el que ta debaxo (que de normal apaez marcáu con una interrupción).

Ye posible que al proyeutar dos nuedos distintos en determinada direición, piérdase información y llógrese la mesma proyeición. Por que esto nun asoceda trabayar siempres coles llamaes proyeiciones regulares, que contienen tola información necesaria.

Pero'l mesmu nuedu va almitir distintes representaciones en forma de diagrama, asina que surde'l primer problema fundamental, ¿cuándo dos diagrames van representar el mesmu nuedu?

En 1927, el teorema de Reidemeister va resolver parcialmente esti problema. Dichu teorema dexa decidir si un nuedu ye igual otru tan solo faciendo dibuxos y ye una fuerte ferramienta pa la prueba de dellos invariantes.

El teorema de Reidemeister diz lo siguiente: Pa pasar d'una proyeición regular d'un nuedu a otra proyeición namái se precisen realizar socesivamente movimientos de dalgún de los siguientes tipos:

Anque aparentemente resuelve'l problema, nun apurre un algoritmu pa determinar si dos nuedos son equivalentes. Asina, a priori nun se conoz el númberu de movimientos necesarios pa tresformar una diagrama n'otru. Tampoco ye posible saber con certidume nun tiempu finito si dos nuedos nun son equivalentes. Una meyora significativa nesta direición foi la introducción en 1929 de los primeres invariantes.

Invariantes de nuedos

Un invariante de nuedos ye una "cantidá" que ye la mesma pa nodos equivalentes. Aun así, un solu invariante puede tomar el mesmu valor pa dos nuedos distintos, siendo insuficiente pa estremalos.

Na llista de invariantes clásicos tenemos d'incluyir:

La tricoloreabilidad
El grupu d'un nuedu, que ye'l grupu fundamental del so complementu.
El polinomiu de Alexander.

A la fin del sieglu XX afayáronse nuevos invariantes como:

Los invariantes hiperbólicos.
El polinomiu de Jones y los sos dos xeneralizaciones más conocíes, el polinomiu HOMFLY y el polinomiu de Kauffman, dambos xeneraos por grupos cuánticos.

Sía comoquier, los invariantes nomaos son solo la punta del iceber de la moderna teoría de nuedos.

Na topoloxía de dimensiones baxes

Un nuedu tien importancia como determinador de ciertu tipu de 3-variedaeses que son los complementos de nuedos.

Nuedos en dimensiones más altes

En cuatro dimensiones, cualquier circunferencia anoyada ye equivalente al nuedu trivial. Sicasí, la teoría de los nuedos puede xeneralizase a embebimientos de subvariedaes en variedaes. Por casu, una 2-esfera enfiñida nuna 4-esfera. Tal embebimiento va considerase non anoyar si esiste un homeomorfismo del espaciu ambiente (la 4-esfera) en sí mesma que lleve la 2-esfera considerada na 2-esfera canónica. Lo mesmo puede dicise pa superficies compactes, orientables o non. Podemos pensar qu'una botella de Klein intersecándose consigo mesma nel espaciu ye la diagrama d'una superficie anoyada na 4-esfera.

Tamién podemos considerar enllaces de subvariedaes.

Ver tamién

Un **enllaz** con trés componentes, cada unu de los cualos ye un nuedu trivial.

Frisu formáu por una 3-trenza

Tanto los enllaces como les trences comparten munchos puntos teóricos colos nuedos:

Sobre l'usu de los nuedos na antigüedá:

Referencies

Colin Adams, The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, 2001, ISBN 0-7167-4219-5
M.A. Armstrong, Topoloxía Básica, Ed. Reverté, 1987. ISBN 84-291-5018-8. (capítulu X)
Da-y Rolfsen, Knots and Links, Berkeley: Publish or Perish, Inc. 1976. ISBN 0-914098-16-0

Referencies

Enllaces esternos

Revisión sobre nuedos, enllaces y el so papel nel estudiu de variedaes tridimensionales (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
KnotInfo: Tabla de nuedos invariantes y recursos sobre la teoría de nuedos.
La wiki atles de nuedos Archiváu 2008-07-05 en Wayback Machine: detallada información alrodiu de nuedos
KnotPlot: software pa investigar les propiedaes xeométriques de los nuedos.