<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

NOMBRES � Curiosit�s, Th�orie et Usages � Accueil�������������������������� DicoNombre����������� Rubriques���������� Nouveaut�s����� �dition du: 02/10/2022 Orientation g�n�rale��� ��� DicoMot Math��������� Atlas������������������ Actualit�s�������� ������������� M'�crire Barre de recherche��������� DicoCulture������������� Index alphab�tique������� R�f�rences���� �Br�ves de Maths���������������������� � ����� ������
	PUISSANCES
� D�butants G�n�ral	Puissances de 2				� Glossaire Puissance
� � INDEX � Puissances de 2 � Puissances des nombres � � � <![if !vml]><![endif]>	Approche	Propri�t�s	Valeurs �Tables	Derniers chiffres
	Fermat	Cullen	Woodall	Proth
	Mersenne	Carol et Kynea	Sierpinski	Riesel
	Poulet	Polis	R = (2^p � p) p# - 1
	� Sommaire de cette page >>> Puissances de 2 et voisins >>> Les derniers chiffres sont cycliques >>> Puissances de 2: jamais somme de cons�cutifs >>> Les puissances de 2 sont presque parfaites >>> Puissances de 2 et binaire >>> Somme des puissances de 2 >>> Divisibilit� par 3		>>> Triangle de Pascal >>> Puissances de 2 et 2n >>> Puissances de 2 et cubes >>> Progression des puissances de 2 >>> Puissance de 2 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�1 >>> Divisibilit� par n de 2^n +1 >>> Formule originale >>> Papier pli� >>> Produit avec puissances de 2

�

<![if !vml]><![endif]>

�

�

PUISSANCE de 2

Propri�t�s

�

� retenir

<![if !vml]><![endif]>

�

�

Puissances de 2 et voisins

Puissance	Non puissance de 2
2 ^n	Nombres polis ou nombres escaliers

�

Mersenne	Fermat	Fermat g�n�ralis�
2 ^p � 1	2 ^2 � la puissance k + 1	n ^2 � la puissance k + 1

�

Woodall	Cullen	Riesel	Proth	Sierpinski	Brier
<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

�

Carol et Kynea	Thabit	Fraction dyadique	Premiers en
<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	2^n+1 + (2^n � 1)	<![if !vml]><![endif]>	2^n � 1 + n

�

Voir Nombres binaires particuliers / Nombres 2-adiques / Types de nombres premiers /

Puissances et exposants � Index�

�

�

�

Amusements avec un nombre en puissances de 2

1 / 998 = 0,001 002 004 008 016 032 064 128 256

����������������� 513 026 052 104 208 416 833 667 �.3

Suite des puissances de 2 jusqu'� 256 = 2⁸.

Application d'une identit� remarquable avec les puissances de 2:

<![if !vml]><![endif]>

Voir Motifs sur les racines carr�s

�

�

�

Devinette

Rectifier l'op�ration en d�pla�ant un seul chiffre.

<![if !vml]><![endif]>

Solution

�

�

Relations entre puissances de 2

<![if !vml]><![endif]>

Tous ces nombres sont des repunits en binaire. Ex: 63 = 111111₂

Voir Identit�s remarquables en Aⁿ � 1

�

Ils sont peu

Liste des nombres n tels que n � 2^k positif sont tous premiers.

[1, 7, 15, 21, 45, 75, 105]

Exemple: 105 => 103, 101, 97, 89, 73, 41 sont premiers

4 = 3⁰ + 31 et 256 = 3⁰ + 3¹ + 3² + 3⁵

Seuls cas connus d'une puissance de 2 �gale � une somme de puissances de 3 distinctes. Aucune en puissance de 5. Avec la puissance 7, on a le seul cas de 8 = 7⁰ + 7¹.

Voir Cas des puissances de 3

�

<![if !vml]><![endif]>

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

Les derniers chiffres des puissances de 2		<![if !vml]><![endif]>
Rappel des puissances de 2:	2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 �
Les unit�s se r�p�tent selon un cycle de longueur 4:	2, 4, 8, 6
Les deux derniers chiffres se r�p�tent selon un cycle de longueur 20:�	4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52
Les trois derniers chiffres se r�p�tent selon un cycle de longueur 100:�	8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 24, 48, 96, 192, 384 �
Lp est la longueur de la p�riode pour m derniers chiffres. La p�riode commence � partir de� 2^m.	Lp = 4 . 5^m � 1
Bilan pour m successifs de 1 � 10:	4, 20, 100, 500, 2 500, 12 500, 62 500, 312 500, 1 562 500, 7 812 500
Les puissances n�gatives de 2 se terminent alternativement par 125 et 625, sauf les deux premi�res.	<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

Voir Table des puissances de 2 avec mise en �vidence des derniers chiffres /

Programmation de la recherche des derniers chiffres d'une puissance de n /

Derniers chiffres des cubes

�

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

Les PUISSANCES de 2 ne sont pas sommes de cons�cutifs		<![if !vml]><![endif]>
La partition des puissances de 2 avec des nombres cons�cutifs est impossible.	� Exemple 2^4 = 16 Parmi les 231 partitions du nombre 16, aucune n'est somme de deux nombres cons�cutifs ou plus.

Voir Les puissances de 2 sont des nombres 2-friables

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

Les PUISSANCES de 2 sont presque parfaites		<![if !vml]><![endif]>
Toutes les puissances de 2 sont presque parfaites (d�ficience �gale � 1). Anglais: least deficient or near-perfect numbers.	� Exemple 2^4 = 16 Diviseurs propres: 1, 2, 4, 8 Somme: 15 Soit une d�ficience de 1. �

�

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

PUISSANCES de 2 et BINAIRE		<![if !vml]><![endif]>
Num�ration Comme les puissances de 10 sont � la base du syst�me d�cimal, les puissances de 2 sont � la base du syst�me de num�ration binaire � Remarque �� 1112 = 710� = 2^2 + 2^1 + 2^0 10002� = 810 = 2^3 � Plus g�n�ralement 2^n � 1 =��� 11 �11 en binaire 2^n������ = 1 00 �00 en binaire �	� 10112 = 1 x 2^3 ���������� + 0 x 2^2 ���������� + 1 x 2^1 ���������� + 1 x 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110 � � Toutes les puissances de 2 de 0 � 4. � � n fois le 1 Un 1 et n fois le 0

�

Unit� des puissances de 2

Les unit�s des puissances de 2� se r�p�tent selon un cycle de quatre valeur: 2, 4, 8, 6. Soit le tableau r�sum� suivant:

<![if !vml]><![endif]>

Voir Unit�s des puissances

�

SOMME DES PUISSANCES DE 2

<![if !vml]><![endif]>

�

Observations

<![if !supportLists]>_{�����} <![endif]>On calcule les puissances de 2 et leur somme cumul�e S_n

�

n	2^n	Sn
0	1	1
1	2	3
2	4	7
3	8	15
4	16	31
5	32	63
6	64	127
7	128	255
8	256	511
9	512	1 023
10	1 024	2 047

�

<![if !supportLists]>����� <![endif]>On note, par exemple

1 024 � 1	= 1 023
2^10� � 1	= S9
2^n+1� � 1	= Sn

�

Exemple d�velopp� avec S₉

�

1 023	= 2^10� - 1 = 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1en binaire Somme des puissances successives de 2
1 024	=��� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 en binaire = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 en binaire La conversion binaire montre explicitement la relation entre 1 023 et 1 024.

�

Th�or�mes

�

La somme des puissances de 2 est �gale �

la puissance de deux suivante moins 1.

S_n = 2ⁿ⁺¹ � 1

�

�

�

Une puissance de deux est �gale � la somme de

toutes les puissances de deux inf�rieures plus un.

2ⁿ⁺¹ = S_n + 1

2ⁿ = S_n-1 + 1

�

Exemple

S100	= 2^101 � 1� = 2 535 301 200 456 458 802 993 406 410 751

�

�

Formulation

<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

�

Voir Somme des puissances / Identit� remarquable

�

Inverse des puissances de 2

<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

�

EN R�sum�: suites g�om�triques de raison 2 et 1/2

<![if !vml]><![endif]>

�

Ce sont effectivement deux suites g�om�triques dont on connait imm�diatement la somme. Pour l'exemple, on va tout de m�me en �tudier quelques d�monstrations.

�

Voir Variations sur les sommes / Nombre presque-parfaits / Compter les parties de tennis

�

�

Puissances de 2 et divisibilit� par 3

La somme de deux puissances de 2 cons�cutives est divisible par 3. C'est vrai �galement pour la concat�nation

<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

Suite Puissances de 2 et divisibilit� par 3 / Br�ve de math 491

�

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

D�monstration par induction		<![if !vml]><![endif]>
<![if !supportLists]>����� <![endif]>On suppose que la formule est vraie pour n.	Sn = 2^n-1 +� 2^n-2 +� � + 2 + 1 ���� = 2^n � 1
<![if !supportLists]>����� <![endif]>On passe � n+1.	Sn+1 =�� 2^n +� 2^n-1 +� 2^n-2 +� � + 2 + 1 Sn+1 =�� 2^n +� Sn
<![if !supportLists]>����� <![endif]>On remplace Sn �par sa valeur dans la formule de r�currence.	Sn+1 =�� 2^n +� 2^n � 1
<![if !supportLists]>����� <![endif]>Deux fois 2^n	Sn+1 =�� 2^n+1 � 1
<![if !supportLists]>����� <![endif]>La relation obtenue est la formule de r�currence appliqu�e � n+1.	Si la formule est vraie pour n, elle est vraie pour n+1
<![if !supportLists]>����� <![endif]>Or elle est vraie pour 1.	S0 = 2^0 = 1 ���� = 2^1 � 1 = 2 � 1 = 1
<![if !supportLists]>����� <![endif]>Formule vraie pour n+1, si vraie pour n Or vraie pour 1 Donc vraie dans tous les cas.

Voir D�monstration par induction

�

�

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

D�monstration par sommes			<![if !vml]><![endif]>
<![if !supportLists]>����� <![endif]>Il faut commencer par une astuce comme souvent en maths. D�sol�!	2^n� = 2^n (2 � 1) 2^n� = 2^n+1� � 2^n
<![if !supportLists]>����� <![endif]>Muni de cet outil voyons notre somme.	Sn = 2^n + 2^n-1 + 2^n-2 +� � + 2 + 1
<![if !supportLists]>����� <![endif]>Rempla�ons par notre formule magique. On se souviendra que 2^0�= 1. �(Voir Explication)	Sn = 2^n� + 2^n-1� + 2^n-2 +� � + 2^1 + 2^0	Sn = 2^n+1 � 2^n� + 2^n � 2^n-1 + 2^n-1 � 2^n-2 +� � + 2^2 � 2^1 + 2^1 � 2^0
<![if !supportLists]>����� <![endif]>Additionnons, en observant les termes qui s'�liminent deux � deux.	Sn = 2^n+1 � 2^0� = 2^n+1 � 1

�

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

DIVISIBILIT� par 3		<![if !vml]><![endif]>
2^n = 2 x 2 x � 2	<![if !supportLists]>����� <![endif]>N'est �videmment pas divisible par 3 (aucun des facteurs n'est divisible par 3).
2^2n = 3k + 1	<![if !supportLists]>����� <![endif]>Les puissances paires de 2, divis�es par 3, donne un reste de 1.
2^2n+1= 3k + 2	<![if !supportLists]>����� <![endif]>Les puissances impaires de 2, divis�es par 3, donne un reste de 2.
Illustration <![if !vml]><![endif]>

Voir Divisibilit� des puissances de 2 / Divisibilit� des puissances de 2 moins unit�

�

�

TRIANGLE DE PASCAL

<![if !vml]><![endif]>

� La somme des coefficients de la ligne n du triangle de Pascal vaut 2 ^n. � <![if !vml]><![endif]> � Explications <![if !supportLists]>����� <![endif]>On peut retrouver facilement cette propri�t� en remarquant que 2 = 1 + 1 <![if !supportLists]>����� <![endif]>Et alors, on calcule 2^n = (1 + 1)^n sur la base du d�veloppement du bin�me. Celui-ci fait intervenir les coefficients du bin�me qui ne sont autres que les termes du triangle de Pascal. � <![if !vml]><![endif]> �

�

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

PUISSANCES de 2 et 2n				<![if !vml]><![endif]>
Montrez que		2^n	> 2n� pour n > 2
Point de d�part		2^3	= 8 > 2 x 3 = 6 Vrai pour 3
Hypoth�se		2^k	> 2k
D�montrez sous cette hypoth�se		2^k + 1	> 2 (k + 1)
D�veloppement de la puissance			= 2 x 2^k
Selon l'hypoth�se			> 2 x 2k
Factorisation			>� 2 (k + 1)
Induction	Propri�t�e vraie pour k = 3. Propri�t�e rai pour k + 1� si vraie pour k Alors, toujours vraie pour n > 2.���� <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

Voir D�monstration par induction

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

PUISSANCES de 2 et cubes				<![if !vml]><![endif]>
Montrez que		2^n	> n^3� pour n > 9
Point de d�part		2^10	= 1024 > 1000 Vrai pour 10
Hypoth�se		2^k	> k^3
D�montrez sous cette hypoth�se		2^k + 1	> k^3 + 1
D�veloppement de la puissance			= 2 x 2^k
Selon l'hypoth�se			> 2 x k^3
Explicitation			>� k^3 + k^3 >� k^3 + k . k^2
Minoration pour nous arranger			>� k^3 + 7 . k^2 >� k^3 + 3 . k^2 + 3 . k^2 + k^2 >� k^3 + 3 . k^2 + 3 . k + 1
			> (k + 1)^3
Induction	Propri�t�e vraie pour k = 10 Propri�t�e rai pour k + 1� si vraie pour k Alors, toujours vraie pour n > 9.���� <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

�

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

PROGRESSION DES PUISSANCES DE 2			<![if !vml]><![endif]>
Plus grand nombre avec 3 deux �	<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>� = (2�)� = 2^(2�) ^� = 4^2 = 2^4� =	16
	222 =	222
	22� =	484
	2�� =	4 194 304
Plus grand nombre avec 4 deux �	2 222 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	10 ^3
	222 � = 49 284 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	10 ^4
	<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>� = ((2�)�)� = 2^2^2^2 = 65�536 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�	� 10 ^5
	<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�= 484 ^2� <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	10 ^14
	22 �� <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	10 ^29
	2 ��� <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	0,67 10 ^67
	<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>� = 2 ��^� = 2^� 484 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	0,5 10 ^146
	<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>� = 2�^�� = 2^4 194 304 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>	10 ^1�262 612

Voir �checs / Tour de Brama ou de Hanoi

�

�

PUISSANCE DE 2 � 1

<![if !vml]><![endif]>

� 2^67 � 1 = 1, 47� 10^20 = 147 573 952 589 676 412 927 = 193 707 721 x 7 618 388 257 287 � <![if !supportLists]>����� <![endif]>En 1876, Lucas montre que ce nombre est compos�. Il a �t� factoris� en 1901 par F. Cole. Voir Ce nombre � Anecdote: Frank Cole est professeur de math�matiques � l'universit� Columbia de New York. En 1903, lors d'une cession de la Soci�t� math�matique am�ricaine, sans dire un mot, il �crit au tableau le nombre de Mersenne 2^67 � 1, puis sur l'autre tableau le produit de deux nombres, et, enfin, entre les deux le signe �gal. Il avait pass� trois ann�es de ses temps libres pour arriver � factoriser ce nombre. �

�

� noter

Pour tout n entier > 1 on n'a jamais n <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�(2^n� � 1): une puissance de 2 moins 1 n'est jamais divisible par son exposant.

Une infinit� de nombres sont tels que n <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�(2^n� + 1), notamment pour n = 3k

Une infinit� de nombres sont tels que n <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�(2^n� + 2)

�

PUISSANCE DE 2 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�1 � Nombres premiers

<![if !vml]><![endif]>

� Pour N <50 <![if !vml]><![endif]> � <![if !supportLists]>����� <![endif]>Seules 8 + 5 - 1 (3 �tant en double) = 12 valeurs de 2^N <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�1 sont premi�res pour N < 50. � Pour N >50 � <![if !supportLists]>����� <![endif]>Nombres 2^N <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�1 qui sont premiers. (N n'est donn� que si l'un des deux nombres est premier) <![if !vml]><![endif]> V�rifi� jusqu'� 1900 Suite en Nombres de Mersenne � Factorisations historiques <![if !supportLists]>����� <![endif]>En 1730, Euler montre que: <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> � <![if !supportLists]>����� <![endif]>En 1880, Landry et Le Levasseur montrent que: <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> � <![if !supportLists]>����� <![endif]>En 1970, Morrison et Brillhart montrent que: <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> �

Voir Machine � factoriser des fr�res Carissan

�

Divisibilit� par n de 2ⁿ + 1, etc.

�

Les exposants n suivants sont tels que n divise 2ⁿ + 1:

�

1, 3, 9, 27, 81, 171, 243, 513, 729, 1539, 2187, 3249, 4617, 6561, 9747, 13203, 13851, 19683, 29241, 39609, 41553, 59049, 61731, 87723, 97641, 118827, 124659, 177147, 185193, 250857, 263169, 292923, 354537, 356481, 373977, 531441, 555579, 752571, 789507, 878769, �

Les exposants n suivants sont telles que n divise 2ⁿ + 2:

1, 2, 6, 66, 946, 8646, �

Les exposants n suivants sont telles que n divise 2ⁿ + 3:

1, 5, 917, 3223

�

Avec 2ⁿ � 1 : ces nombres ne sont jamais divisibles par n (sauf n = 1).

�

�

�UNE FORMULE ORIGINALE	<![if !vml]><![endif]>
� �quation � <![if !vml]><![endif]> � Exemples <![if !vml]><![endif]> �quation amusante�d�couverte et d�montr�e� en 1986 par Pascal Peyremorte �

�

�

PAPIER PLI�

<![if !vml]><![endif]>

�

�

1 125 899 906 842 624 = 1,126 10 ¹⁵� morceaux de papier pli�.

�

On prend une feuille de papier � cigarette de 1/50 mm (tr�s fin!).

il en faut 500 pour faire 1 cm d'�paisseur.

On d�chire la feuille en deux et on empile les morceaux.

On recommence l'op�ration 50 fois.

Quelle est la hauteur de la pile?

�

�

La premi�re d�chirure� donne	2 = 2^1 morceaux	�
La seconde en donne	4 = 2�	�
Puis	2^3	�
Etc.	�	�
Au 20^e coup	2^20 = 1 048 576	=> 20 m�tres
30^e	�	=> 20 km
40^e	�	=> 25 000 km
Au total: 50^e	1 126 000 000 000 000	=> 22 millions de km

�

�

Distance � comparer � (en km)

Lune	diam�tre	3 476
Terre	circonf�rence	40 000
Lune	orbite	384 400
Soleil	diam�tre	1 392 530
Papier	d�chir�	22 000 000
Terre	orbite	150 000 000

�

�

Voir P�rim�tre du papier pli�� / Timbres / Feuille pli�e - D�butant / Courbe du dragon

�

�

Produit avec puissances de 2

<![if !vml]><![endif]>

� Produit infini avec les puissances de 2. <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> � Euler a montr� que de produit peut �tre calcul� plus facilement avec la somme infinie: 1 � x � x^2� + x^5 + x^7 � x^12 � x^15 + x^22 + x^26 � x^35 � x^40 + � � Les exposants sont les nombres pentagonaux g�n�ralis�s: n(3n � 1 ) / 2 avec n = 0, +1, -1, +2, -2 � �

Voir Sommes de suites qui rendent fou

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Nombres premiers en 2ⁿ � n

2, 3, 9, 13, 19, 21, 55, 261, 3 415, 4 185, 7 353, 12 213 �

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Solution de la devinette

Rectifier l'op�ration en d�pla�ant un seul chiffre.

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Retour

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Suite	<![if !supportLists]>��� <![endif]>Puissance 2 � Valeurs <![if !supportLists]>��� <![endif]>Les puissances de 2 sont des nombres 2-friables <![if !supportLists]>��� <![endif]>Carr� magique multiplicatif avec les puissances de 2 <![if !supportLists]>��� <![endif]>Divisibilit� des puissances de 2 � 1 (Mersenne compos�) <![if !supportLists]>��� <![endif]>Multipuissances <![if !supportLists]>��� <![endif]>Nombres de Poulet <![if !supportLists]>��� <![endif]>Presque puissances de 2 <![if !supportLists]>��� <![endif]>Produit amusant en puissances de 2 et de 5 <![if !supportLists]>��� <![endif]>Puissance de 2 en informatique (m�ga, giga �) <![if !supportLists]>��� <![endif]>Puissance de 2 et (1 + i) <![if !supportLists]>��� <![endif]>Puissances de 2 et conjecture de Collatz <![if !supportLists]>��� <![endif]>Puissance de 2 et l'ann�e 2014 <![if !supportLists]>��� <![endif]>Puissance de 2 et nombres cons�cutifs <![if !supportLists]>��� <![endif]>Puissance de 2 et puissances des complexes <![if !supportLists]>��� <![endif]>Puissance des nombres � Autres pages <![if !supportLists]>��� <![endif]>Puissances de 2 et logarithmes <![if !supportLists]>����� <![endif]>Puissances de 2 et nombre 142857 <![if !supportLists]>����� <![endif]>Suite avec les inverses des puissances de 2 <![if !supportLists]>����� <![endif]>Somme des inverses des puissances de 2
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Sites	<![if !supportLists]>��� <![endif]>Jeu du 2048 � D�placez des tuiles, comme sur un jeu de taquin � jeu � la mode en 2014.� Voir Sur ce site <![if !supportLists]>��� <![endif]>OEIS A001318 � Generalized pentagonal numbers
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Puiss2.htm

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