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NOMBRES � Curiosit�s, Th�orie et Usages

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Accueil�������������������������� DicoNombre����������� Rubriques���������� Nouveaut�s����� �dition du: 13/01/2024

Orientation g�n�rale��� ��� DicoMot Math��������� Atlas������������������ Actualit�s�������� ������������� M'�crire

Barre de recherche��������� DicoCulture������������� Index alphab�tique������� R�f�rences���� �Br�ves de Maths����������������������

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Diviseurs

�

D�butants

Nombres parfaits

Types de nombres

selon leurs diviseurs

�

Glossaire

Diviseurs

�

�

INDEX

�

Somme de diviseurs

�

D�composition

�

Diviseurs

�

Types de nombres

�

�

Pr�sentation

Parfait

Presque parfait

Amiable

de 1 � 100

D�monstration

Unit. Parfait

Sublime

S-Parfait

Programmation

Calculs (Fr�nicle)

Liste et historique

Admirable

Zumkeller

Fianc�s

<![if !vml]><![endif]>

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Nombres parfaits

>>> Parfaits et g�om�triques

>>> Relation fondamentale

>>> Point de situation

>>> Propri�t�s

>>> Th�or�mes

�

�

�

>>> Triparfait

>>> Nombres multiparfaits

>>> Nombres multiparfaits harmoniques

>>> Nombres hyperparfaits

>>> Nombres antiparfaits

>>> Anglais

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<![if !vml]><![endif]>

�

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NOMBRES PARFAITS

�

On consid�re les diviseurs d'un nombre; On effectue leur somme; On compare le nombre initial � cette somme:

�

PARFAIT: s'il y a �galit�.

�

Les nombres parfaits sont rares. M�me si on conjecture qu'il y en a une infinit�. On en conna�t 51 en 2021. Ils sont li�s aux nombres de Mersenne premier par une formule. Ils sont triangulaires, sommes des cubes des impairs. Etc.

�

Il n'existe que huit nombres parfaits inf�rieurs � un mille trillions (1021)

�

6

28

496

8�128

33�550�336

8�589�869�056

137�438�691�328

�2�305�843�008�139�952�128

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Cool SVP! Voir D�butant

Anglais: Perfect numbers

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�

Selon la somme par rapport au nombre

<![if !vml]><![endif]>

Rappel, vous pouvez consulter la Page d�butants

�

�

Un petit avant-go�t!

Voici la physionomie d'un nombre parfait*: une puissance k-1 de deux multipli�e par une puissance k de deux moins 1. Si ce deuxi�me facteur (nombre de Mersenne) est premier alors le nombre est parfait.

<![if !vml]><![endif]>

Notez la ressemblance des facteurs en puissance de deux: le "moins un" est soit dans l'exposant soit en soustraction.

* Tous les parfaits pairs sont de cette forme.

On ne sait pas s'il existe des nombres parfaits impairs.

�

<![if !vml]><![endif]>

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

Approche avec deux exemples

<![if !vml]><![endif]>

n = 10

est divisible par 1, 2 et 5

n = 6

est divisible par 1, 2 et 3

Le plateau est divis� n �parts.

On prend les parts selon les diviseurs.

<![if !vml]><![endif]>

La somme des parts est

plus petite que 10 parts.

C'est un nombre d�ficient.

La somme des parts est

justement 6.

C'est un nombre parfait.

�

�

NOMBRES PARFAITS

<![if !vml]><![endif]>

�

D�finition

NOMBRE PARFAIT: nombre �gal � la somme

de ses diviseurs propres.������� <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�=� n

�

��

Exemples

�

Diviseurs

Somme des diviseurs

6

3, 2, 1

3 + 2 + 1 = 6

28

14, 7, 4, 2, 1

14 + 7 + 4 + 2 + 1 = 28

496

1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

�

� noter

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>On note que la somme des diviseurs (<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�) inclut le nombre n lui-m�me

Alors que la somme des diviseurs propres (<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�') l'exclut

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Soit la relation: <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�= <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�' + n

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Or pour un nombre parfait, selon sa d�finition: <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�' = �n

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>En rempla�ant, on trouve pour un nombre parfait:��� <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�= 2 n

�

D�finition alternative

�

NOMBRE PARFAIT: nombre dont la somme

des diviseurs vaut le double du nombre.��� <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�=� 2n

�

<![if !supportLists]>���������� <![endif]>� ce titre les nombres parfaits pourraient �tre baptis�s bi-parfait.
Les nombres parfaits sont des nombres multi-parfaits d'ordre 2 ou bi-parfait ou 2-parfait.

�

�

�

PARFAITS et nombres figur�s

<![if !vml]><![endif]>

�

Tous les nombres parfaits pairs (connus) sont

triangulaires et hexagonaux.

�

�

������ 6 = 1 + 2 + 3

���� 28 = 1 + 2 + 3 + ... + 7

�� 496 = 1 + 2 + 3 + ... + 31

8 128 = 1 + 2 + 3 + ... + 127

������������� Etc.

�

�

Tous les nombres parfaits sont la somme des cubes des nombres impairs cons�cutifs.

�

�

6

Exception

28

13 + 33

496

13 + 33 + 53 + 73

8 128

13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153

Etc.

�

�

�

�

�

RELATION FONDAMENTALE

<![if !vml]><![endif]>

�

Formule d'Euclide

�

Si N = 2n-1 ( 2n � 1) avec p = (2n � 1) premier,

alors N est parfait.

�

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Tous les nombres parfaits connus aujourd'hui r�pondent � la formule d'Euclide. L�onard Euler (1707-1783) a d�montr� que tous les parfaits pairs sont de ce type.

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>On ne sait toujours pas s'il existe des nombres parfaits impairs (test� jusqu'� 10150).�

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Une puissance de deux moins un est un nombre de Mersenne.

�

Voir D�monstration / Divisibilit� / Exemple avec modulo

�

�Exemples

�

n

2n � 1

p = 2n � 1

N

p premier

M

1

20 =�� 1

21 � 1� =�� 1

1

NON

�

2

21 =�� 2

22 � 1� =�� 3

6

�

6

3

22 =�� 4

23 � 1� =�� 7

28

�

28

4

23 =�� 8

24 � 1� = 15

120

NON

�

5

24 = 16

25 � 1� = 31

496

�

496

Suite

�

�

�

�

�

�

Binaire

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Impliquant des puissances de 2, il n'est pas surprenant que les nombres parfaits prennent une forme sympathique en binaire:

6 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�110

�28 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>11100

496 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>111110000

8 128 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>1111111000000

�

Historique

�

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Euclide avait trouv� cette formule. Euler d�montre la r�ciproque (1749):

<![if !supportLists]>������� <![endif]>Il montre que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.

<![if !supportLists]>������� <![endif]>Or, on ne conna�t que des nombres parfaits pairs

�

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Il se trouve que (2n � 1) est un nombre de Mersenne et, les nombres de Mersenne ne sont premiers que si n lui-m�me est premier.

�

<![if !supportLists]>������� <![endif]>Pour n = 3, on a: 2n � 1 = 8 � 1 = 7, premier et N = 4 x 7 = 28

<![if !supportLists]>������� <![endif]>Pour n = 4, on a: 2n � 1 = 16 � 1 = 15, compos�

<![if !supportLists]>������� <![endif]>Pour n = 5, on a: 2n � 1 = 32 � 1 = 31, premier et N = 16 x 31 = 496

�

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>En 1963, � l'Universit� de l'Illinois, on a trouv� un nombre parfait pour n = 11 213 qui s'exprime avec 6 751 chiffres et se d�compose en 22 425 diviseurs. C'�tait le nombre parfait n�23.

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>En 2016, on a trouv� le Mersenne premier n�49 qui est aussi le nombre premier le plus grand que l'on connaisse.

Voir Liste des nombres parfaits / Record du plus grand premier

/ Historique des nombres de Mersenne
<![if !supportLineBreakNewLine]>
<![endif]>

En r�sum� � Th�or�me

�

N est un nombre parfait si et seulment s'il est de la forme 2p-1 (2p � 1 ) et si (2p � 1) est premier.

si (2p � 1) est premier, alors p est lui-m�me premier.

�

Illustration

Parfait

Mersenne Premier

Premier

2p-1 ( 2p � 1 )

�

�

�

2p �� 1�

�

�

�

p

Parfait <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�Mersenne premier

L'un entra�ne l'autre.

�

�

<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>� Si Mersenne alors p est premier

Pas l'inverse: p premier ne donne pas toujours un Mersenne premier.

�

�

�

Point de situation

<![if !vml]><![endif]>

�

�

PROPRI�T�S

<![if !vml]><![endif]>

�

Infinit�?

Conjecture

�

Il y a une infinit� de nombres parfaits.

�

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Les nombres parfaits sont rares. On en conna�t seulement 49, autant que de Mersenne premiers connus. On connait bien tous les nombres de Mersenne premiers successifs jusqu'au 45e.������ Voir Liste

�

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>On ne pas si les nombres parfaits sont en nombre infini. Probablement oui, car la s�rie harmonique diverge.
<![if !supportLineBreakNewLine]>
<![endif]>

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Existe-t-il une infinit� de nombres de Mersenne compos�s�?

�

Euler a montr� que�:

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Si k > 1 et p = 4k + 3 est premier, alors 2p + 1 est premier si et seulement si 2p = 1 (mod 2p + 1).
Donc, si p = 4k + 3 et 2p + 1 sont premiers alors le nombre de Mersenne 2p � 1 est compos�.
Il semble raisonnable d'affirmer qu'il y a une infinit� de telles paires p et 2p + 1.

�

�

6 et 28

Tous les nombres parfaits pairs se terminent par 6 ou 28.

�

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Tous les nombres parfaits se terminent par 6 ou 28. La s�quence du chiffre final semble vouloir nous dire quelque chose, mais n'est pas r�guli�re:
6, 8, 6, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 8, 6, 6, 6, 6, ....

�

Racine num�rique

La racine num�rique (ou preuve par 9) des nombres parfaits est �gale �1�(sauf pour 6).

�

Exemple: 28 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�2 + 8 = 10 <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�1

�

Inverses

La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait est �gale � 2.

�

Exemple: 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Cette propri�t� n'est pas magique!� Essayez de r�duire au m�me d�nominateur et vous verrez.
Et, bien s�r, la r�ciproque est vraie: si la somme des inverses des diviseurs d'un nombre, y compris ce nombre, est �gale � "�2�", le nombre est parfait.��

�

�

Pairs uniquement ?

Conjecture

Il n'existe pas de nombres parfaits impairs.

�

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>S'il existe des nombres parfaits impairs, ils doivent �tre tr�s grands (au moins 300 chiffres) - Brent et Cohen (1989).

<![if !supportLists]>������� <![endif]>On sait que, divis� par 12, il reste 1,

<![if !supportLists]>������� <![endif]>Et divis� par 36, il reste 9;

<![if !supportLists]>������� <![endif]>Ils ont au moins 6 facteurs premiers;

<![if !supportLists]>������� <![endif]>Etc.

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>C'est un carr�, multipli� par une puissance impaire d'un nombre premier seul.

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Il est divisible par au moins 8 premiers.

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>il a au moins 29 facteurs premiers (pas n�cessairement distincts).

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Il a un diviseur premier plus grand que 1020.

�

�

Harmonique�:

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Tous les nombres parfaits sont harmoniques: la moyenne harmonique des diviseurs est un nombre entier.

�

Quantit� de chiffres

<![if !supportLists]>��������� <![endif]>Le ratio entre p (la puissance de 2) et la quantit� de chiffres Q du nombre parfait approche log(10) / log(4) = 1,660964048�
Pour le plus grand connu en 2016 (P49), on a p = 74 207 281 et Q = 44 677 235 et p/Q = 1,660964046�

�

�

Anecdote

198 585 576 189

<![if !supportLists]>���� <![endif]>Ren� Descartes pensait avoir d�couvert un nombre parfait impair, sauf que 22 021 n'est pas premier. On ne conna�t toujours pas de nombre parfait impair � ce jour.

D�composition de Descartes

N = 32 . 72 . 112 . 132 . 22 021 = 198 585 576 189

Somme des diviseurs

�

<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

�

= 397 171 152 378 = 2 x 198 585 576 189

V�ritable d�composition

N = 32 . 72 . 112 . 132 . 192 . 61

Somme des diviseurs

�

<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

�

= 426 027 470 778

<![if !supportLists]>���� <![endif]>N n'est pas parfait, il est abondant

Voir Nombre 198 585 576 189

�

�

TH�OR�MES

<![if !vml]><![endif]>

�

Voyons les premiers nombres parfaits, d�compos�s en facteurs partiels:
�

6

28

496

8 128

2 x 3

4 x 7

16 x 31

64 x 127

Ils sont tous le produit d'une puissance de 2 et de la puissance suivante de 2 moins 1, comme 4 x 7 = 22 x (23 � 1). En fait, ils sont de la forme 2n � 1 (2n � 1) et chaque 2n � 1 est un nombre premier de Mersenne.

�

Th�or�me 1

k est un nombre parfait pair, si et seulement si, il est de la forme

�2n � 1 (2n � 1) avec� 2n � 1 premier (premier de Mersenne).

�

�

Th�or�me 2

Si 2n � 1 est premier, alors n est premier.

La recherche des nombres de Mersenne est aussi celle des nombres parfaits pairs.

�

�

Th�or�me 3

Soit p et q premiers.

Si divise Mp = 2p � 1, alors q = <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�1 (mod 8) et q = 2 k.p + 1

pour quelques valeurs enti�res de k.

�

�

Th�or�me 4

Soit p = 3 (mod 4), un premier.

2p + 1 est aussi un premier si et seulement si 2p + 1 divise Mp.

�

�

�

Theorems

Theorem One:� k is an even perfect number if and only if it has the form 2n-1(2n � 1) and 2n � 1 is prime.

Theorem Two:� If 2n � 1 is prime, then so is n.

�

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

TRIPARFAIT

<![if !vml]><![endif]>

�

<![if !supportLists]>������ <![endif]>Dans le cas d'un nombre triparfait, la somme des diviseurs, y compris lui-m�me, est �gale � trois fois le nombre:

�

Cas de 120 = 23 . 3 . 5 et la somme de tous ses diviseurs:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 3 x 120.

�

<![if !supportLists]>������ <![endif]>Les triparfaits sont tous pairs. S'il en existe un impair, il est sup�rieur � 1050.

�

<![if !supportLists]>������ <![endif]>On ne conna�t que six nombres triparfaits:

�

120

672

523 776

459 818 240

1 476 304 896

51 001 180 160

= 23 x 3 x 5 (Mersenne 1557)

= 25 x 3 x 7 (Fermat 1636)

= 29 � 3 � 11 � 31

= 28 � 5 � 7 � 19 � 37 � 73

= 213 � 3 � 11 � 43 � 127

= 214 � 5 � 7 � 19 � 31 � 151

�

�

NOMBRES MULTIPARFAITS OU PARFAITS MULTIPLICATIFS

<![if !vml]><![endif]>

�

D�finition

<![if !supportLists]>������ <![endif]>La somme des diviseurs, y compris lui-m�me, fait k fois le nombre:��� <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>�= k . n

n est appel� k-parfait.

�

<![if !supportLists]>������ <![endif]>On conna�t plus de 500 nombres multiparfaits jusqu'� l'ordre 8. On conjecture qu'il existe des nombres k-parfait pour toutes les valeurs de k.

<![if !supportLists]>������� <![endif]>25 x 33 x 5 x 7 est le premier t�traparfait.

<![if !supportLists]>������� <![endif]>27 x 34 x 5 x 7 x 11� x 17 x 19, le premier pentaparfait.

�

�

Quelques multiparfaits Pn

�

P2

6, 28, 496, 8128 � (nombres parfaits)

P3

120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 31001180160 �

P4

30240, 32760, 2178540, 23569920 �

P5

14182439040, 31998395520, 518666803200 �

P6

154345556085770649600, 9186050031556349952000 �

�

Quantit� minimum de facteurs premiers distincts

�

P3

P4

P5

P6

P7

3

4

6

9

14

Lehmer 1901

��

Quantit� de nombre multiparfaits connus

�

1911

251

Carmichael et Mason

1929

334

Poulet

1953

397

Franqui and Garc�a

1954

482

Brown

1954

539

Franqui and Garc�a

2000

> 2 000

�

�

�

<![if !supportLists]>������ <![endif]>On pense conna�tre tous les multiparfaits d'ordre 3, 4, 5, 6 et 7.

�

Le plus grand connu

De l'ordre de 7,3 10 1 345�� ����������Moxham - F�vrier 2000

�

�

Multi ou hyper ?

<![if !vml]><![endif]>

�

Nombres multiparfaits harmoniques

�

Nombres �gaux � n fois le rapport entre la quantit� de diviseurs et la somme des diviseurs propres:

<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

Exemple:

H(140) = 140 x 12 / 336 = 5

�

Liste

1, 140, 270, 672, 1638, 2970, 6200, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760, 55860, 105664, 117800, 167400, 173600, 237510, 242060, 332640, 360360, 539400, 695520, 726180, 753480, 950976, 1089270, 1421280, 1539720, �

Voir Nombres d'Ore (semblables)

Programmation Maple

<![if !vml]><![endif]>

�

Commentaires

�

Appel aux logiciels de th�orie des nombres.

Lancement d'une boucle d'analyse des nombres de 1 � 1000.

�

Calcul du rapport.

Si ce rapport est un entier et que le nombre n'est pas parfait, le nombre est ajout� � la liste L.

�

Impression de la liste, en bleu.

Voir OEIS A090945 / Programmation � Index

�

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

Nombres HYPERPARFAITS

<![if !vml]><![endif]>

�

D�finition

Un nombre k-hyperparfait est� tel que:

<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

�

Un nombre 1-hyperparfait est un nombre parfait: <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

�

Un nombre 2-hyperparfait (2-HP) est de la forme: <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

�

Un nombre 3-hyperparfait (2-HP) est de la forme: <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

�

Relations

<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

�

�

Listes

2-HP: 21, 2 133, 19 521, 176 661,
1 29 127 041,
328 256 967 373 616 371 221,...

�

�������������� Ex: <![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

�

3-HP: 325,� aucun autre jusqu'� n = 1 000 000

�

4-HP: 1 950 625, 1 222 640 625,
186 264 514 898 681 640 625

�

5-HP: aucun connu

�

6-HP: 301, 16 513, 60 110 701,
1 977 225 901
2 733 834545 701
232 630 479 398 401
<![if !supportLineBreakNewLine]>
<![endif]>

10-HP: 159 841

11-HP: 10 693

12-HP: 697, 2 041, 1 570 153, 62 722 153, 10 604 156 641, 13 544 168 521, 1 792 155 938 521

18-HP: 1 333, 1 909, 24 69 601, 893 748 277, 322 685 352 001, 8 992 165 119 733, 42 052 982 615 431 201

�

�

<![if !supportMisalignedColumns]> <![endif]>

Nombres ANTIPARFAITS

<![if !vml]><![endif]>

Nombres �gaux � la somme des diviseurs retourn�s (lus de droite � gauche).

Exemple

Diviseurs de 244: 1, 2, 4, 61, 122

Retourn�s: 1, 2, 4, 16, 221

Somme: 244

�

Liste des cinq connus

6, 244, 285, 133 857, 141 635 817.

�

Anglais: anti-perfact numbers

�

�

English corner

<![if !vml]><![endif]>

�

A positive integer n is called a perfect number if it is equal to the sum of all of its positive divisors, excluding n itself.

�

�

Grand merci � Maximilian pour ses remarques

�

<![if !vml]><![endif]>

�

�

Suite

<![if !supportLists]>���� <![endif]>Programmation de la recherche des parfaits

<![if !supportLists]>���� <![endif]>Liste des nombres parfaits

<![if !supportLists]>���� <![endif]>Trait� sur les nombres parfaits

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<![if !supportLists]>���� <![endif]>Nombres parfaits � Th�orie des nombres

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<![if !supportLists]>���� <![endif]>Types de nombres selon leurs diviseurs

DicoNombre

<![if !supportLists]>���� <![endif]>Nombre 1,66�

<![if !supportLists]>���� <![endif]>Nombre 198 585 576 189

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<![if !supportLists]>������ <![endif]>R�partition des nombres superabondants par Paul Erd�s et JL Nicolas � D�finition des nombres hautement compos�s et superabondants.

<![if !supportLists]>������ <![endif]>Prefect number � Wolfram MathWorld

<![if !supportLists]>������ <![endif]>Mersenne Primes: History, Theorems and List � Chris Caldwell

<![if !supportLists]>������ <![endif]>A Study of Hyperperfect Numbers � Judson McCranie � 2000 � Tr�s complet avec listes et references.

<![if !supportLists]>������ <![endif]>OEIS A007593 - 2-hyperperfect numbers: n = 2*(sigma(n) - n - 1) + 1.

<![if !supportLists]>������ <![endif]>OEIS A028500 � 12-hyperperfect numbers: n = 12*(sigma(n) - n - 1) + 1

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