東大数学専科理系2011年

東大理系数学2011年第1問

Day:2012.01.11 22:31
Cat:理系2011年
Tag:座標微分(Ⅲ)

難易度B、時間25分。東大にしてはずいぶんおさえた問題です。ぜひ完答したいところです。

簡易版の解説です。

(1)は熱くなって面倒な方法で突っ走らないように気をつけましょう。例えば交点Q、Rを求めたりすると計算が一気にボリュームを増してしまいます。

(2)は素直に微分して下さい。また図形的に∠QPRが90°になるときが最小、ということを使っても解答が作れます。

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東大理系数学2011年第2問

Day:2012.01.11 22:22
Cat:理系2011年
Tag:論証

難易度C、時間30分。(1)は必ず取りたいところ。(2)、(3)はいずれも発想を必要としますが、数学が得意な受験生ならば十分完答できるレベルです。

簡易版解説です。

(1)は、少し面食らいますが実際に最初の2～3項求めてしまえばなんてことありません。すぐに規則性を発見できます。

(2)のように、「任意のnに対して」、「すべてのnに対して」などから始まる条件を処理するには、n=1,2などの具体値を代入して必要条件を絞るとうまくいきます。

(3)も具体的にaの値をいくつか代入して、何項か求めると「分子が徐々に減っていきいずれ0になる」という規則が見えてきます。とはいえ(1)に比べかなりの量実験しないといけなく、方針が立っても論証を言葉にしづらい難問です。

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東大理系数学2011年第3問

Day:2012.01.11 05:54
Cat:理系2011年
Tag:積分(Ⅲ)極限

難易度D、時間40分。(1)はともかく、(2)の計算量が尋常ではありません。積分の方法もマニアックで、本番では逃げるが勝ちといったところ。

ロングバージョンの解説です。

(1)だけは落としてはいけません。

(2)に登場する√(t^2+L^2)の形は、t=(x-L^2/x)/2とおくとうまく計算できることが知られています(我々塾関係の人間では)。またt=Ltanθと置換積分しても計算可能です。

(3)は(2)ができればボーナス問題です。

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東大理系数学2011年第4問

Day:2012.01.11 05:37
Cat:理系2011年
Tag:存在条件

難易度B、時間30分。典型的な問題ですが、軌跡や領域の分野を解法だけ覚えている人は条件が足らず大減点をくらったことでしょう。同値性をくずさずに丁寧に論証して下さい。

ロングバージョンの解説です。

αとβの対称式が現れます。対称式はその対称性がくずれないように大切に式変形するクセをつけましょう。

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理系東大数学2011年第5問

Day:2012.01.10 23:52
Cat:理系2011年
Tag:確率・場合の数座標

難易度C、時間30分。見た目にはごついですが、取り組み始めると案外素直な問題です。

ロングバージョンの解説です。

(1)は解答のように図形を用いて処理せずとも、条件式よりw([a,b;c])=-qのときは(a,b)=(0,-q)、w([a,b;c])=pのときは(a,b)=(p,0)がすぐに導けます。