よく「因数分解が何の役にたつんだよ」という子どもがいます（大人にもそういう人が稀にいます）。

因数分解ができると普通の計算が楽にできるようになりますよ。特に暗算。

たとえば

１４ｘ３５を一気に暗算は面倒ですが

（２ｘ７）ｘ（５ｘ７）に因数分解して

（７ｘ７）ｘ（２ｘ５）に並べ替えれば４９Ｘ１０＝４９０です

中学レベルの数学なんてのはいずれも目的ではなく道具なのです

100000の二乗－99999の二乗

＝(100000+99999)(100000-99999)

＝199999

というのはどうでしょう

これなら桁数が多くて電卓を使うのは大変だと思います。

科学を理解しないと科学っぽく見える商売に簡単にだまされる

see:水商売ウォッチング(富永研究室びじたー案内内)等

http://atom11.phys.ocha.ac.jp/index.html

とかはいかがでしょうか?

頭の体操、

脳の活性化

思考回路の練磨

とかいかがでしょうか。

数学の思考様式を獲得することは、

論理的思考の訓練法のひとつとして

有効なのではないかと思ってるのですが。

映画監督の北野武が、「数学できない人が文学とか映画は撮ったらだめ、つくったらだめ」ということをよく言っていますね。

「ファクタライゼーション、要するに、Ｘという殺し屋がいる。Ｘが、Ａという人、Ｂという人、Ｃという人を殺すときには、映像的には、Ａ×Ｘというシーンを撮らなければいけない、同じようにＢ×Ｘ、Ｃ×Ｘというシーンを撮らなければいけない。それでＸは、Ａ・Ｂ・Ｃとかかわるわけ。因数分解になると、Ｘという人が拳銃を持って血を流して歩く。ただ歩くだけ。その歩いている中にＡの死体、Ｂの死体、Ｃの死体をただ映す。そうすると、Ｘはこういう人を殺したとなるわけよ。細かくいちいち撃つシーンを何回も使わなくてもいい。それは、Ｘ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）で、だから因数分解になるわけ。２乗とかルートというような、強引にルート的な映像をつくる。そういうのが無感覚になっている人もいるけど、数学的に解釈すると、そういうふうになるというかね。」

参照：

http://www.meiji.ac.jp/koho/information/pr/meidaikouhou/2004...

http://www.shizuoka.ac.jp/~math/math/Guide/zetaval2.pdf

因数分解のことがわからないと、数学の一番面白い部分を放棄することになるので非常に勿体無いです。

数学の利用法だけでなく、面白さを語るほうが説得が容易かもしれません。

因数分解自体が何かの役に立つわけではありません。

しかし、高校へ進み大学に上がって行き自分の好きなことをするために、

お金が必要です。お金を稼ぐためには、職に就かなくてはなりません。

そのためにはある程度の教養が必要です。

ましてや、数学や理科が好きな日とはなおさら必用です。

例えば因数分解ではありませんが、

数学には開平という計算があります。

これは、ルートの近似値を求めるのに使います。

数学では必要ないですが、

理科では数値はすべて数字で出さなくてはならないので必要です。

というように専門的なことになってゆくと火町になってきます。

因数分解というのは、因数に分解する、つまり、無秩序に見える複数の項の共通因数を見つけてくくり出すということですよね。共通因数でくくり出すことによって、無秩序に見える多項式を式の積というまったく異なったかたちで認識することができる、すなわち、同じものを異なった様態で認識できるわけです。

これはそれ自体が楽しいというだけではなく、ものごとを分析する上で重要な考えかたであると思います。架空の話ですが、香港、シンガポール、カナダ、オーストラリアの４つの地域の経済成長率が非常に高いという状況があったします。そのようなときに「どの地域も旧英国領である」とか「どの地域も太平洋に面している」とか、各要素に共通する因子を見つけ出そうとする分析プロセスは数学の因数分解のプロセスと同じであり、ものごとを分析する上で重要であることはたとえ中学生であっても容易に理解できるだろうと思います。

考え方が大事です

因数分解

因数構築

分解・再構築

事象を調査する時の考え方です

数学だけではなく、色々な物にこの考え方は展開できます

私も家庭教師をした時、よくこういう子に出会いました。

丁度いい例が手元にないのですが、こういうやりとりをしました。

私：　大体、「X^3+3X^2+3X+1」にしておくよりも「（X+1）^3」の方が扱いやすいだろ？　お前、最初の式を使いこなせるのか？

生徒：　（大抵の子は計算を面倒くさがるので）後ろの式の方がいい

子供は一度納得すると自分からやってくれるので、後は楽でした。

７の回答を書いた者ですが、PDFはゼータ関数の性質を利用して

2つの自然数が互いに素となる確率が1/6π^2であることを示す内容です。

私はこのPDFではないですが、こういう内容の本を以前読んで

感動した記憶があるので紹介したわけですが、

まあ、面白いものは数学に限らず、いっぱいあります。

ちなみに暗号の件ですが、テレビを見るためにテレビの構造を

理解する必要はありません。

それに公開鍵暗号の実装方法でも楕円曲線暗号とか使うなら

因数分解は不要になります。

子供たちが「因数分解が何の役にたつんだよ」と言う場合、

因数分解が役に立つか不安があるので質問しているのか、

因数分解がつまらないから文句を言っているのか、

そのへんをはっきりさせる方がいいと思うのですが、

とりあえず、受験で必要だ、と教えるのがいいのではないでしょうか？

因数分解は数学上の手法でしかないので

因数分解は「直接は」数学自身の役にしか立ちません。

2006-08-16 16:23:18までの回答の中に

因数分解が「数学への貢献」を介さず直接役立った

具体例が記されているとは、私には到底考えられません。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

数学が役立つことを教え、それが達成できた上で

因数分解が数学に役立つことを教えるべきです。

RSAで暗号化するのに使っていることも一つの手ですが、因数分解の数学的な位置づけとしては、解析的な意味が強いような気がしています。日常的なレベルでは、計算の工夫になるのでしょうか。

この二つのラインから外れないような有用性を示すことが、重要なんじゃないかと思ってます。

それで、相手や方向性に応じてアプローチの仕方は違うと思いますが、有用性を示す方法としては、日常生活のレベルで使えること以外にも、勉強の積み上げとなっていることを示すことも（本当は）重要でしょう。

前者のタイプの有用性としては、既に指摘されているように、因数分解を使った日常的な計算があるのだと思います。おそらく、各種の計算の工夫が当てはまるのでしょう。

ただ、概数の計算で十分な場合と、そうでない場合との区別が重要になってくるような気がします。

たとえば、99円のシャープペンを3本購入するような場面で、概数で事足りる場合には因数分解は不要ですが、正確な値が必要な場合には因数分解を使うべきでしょう。

その他のアプローチとしては、6のmunagurumaさんや9のkoganeihanaさんが示したような、因数分解と同型な日常的な課題を提示すればいいのでしょうが、これはやや難しいと思います。数学を勉強すると、日常的な推論が磨かれるというのは眉唾だと、僕は思います。

数学的な思考と日常的な思考とは、あるレベルで同型性が成立しているかもしれないけど、たいていは別物だし、他の勉強でもそういった思考力を伸ばすことも可能でしょう。

それで、後者のタイプの有用性としては（学問的な積みかさねとして必要であることを示す）、高校レベルの数学を紹介する方法があるのだろうと思います。

一応、指導要領的には、『二次函数および式の変形』などで確実に使うことになるという便法もありでしょう。幾何的な使い方などを示すことも、一部の生徒は興味をもつような気がします。もちろん、自分が中学生だった頃にそんなことを言われても、聞き流していたと思いますけど。(^^;)

他の切り口としては、小学校でやった計算の工夫が因数分解として定式化できることを示すのも一つの手かもしれませんね。この場合には、『後になって役に立つ』のではなくて、『小学生よりも偉くなった』ことを強調することになるのでしょうか。

ただ、いずれにしても、因数分解というのはあまりにも基礎的な計算手続きなので（そもそも、『計算の工夫』として因数分解は絶対に必要だから）、、、『高校以降の数学で絶対に使う』といった感じに断言して、押しつけてもいいような気がします。

このやり方で納得しない生徒が大多数になってしまったというのが、厄介なんだろうと思いますが…。

　羊は何匹？　

　ある日、散歩中の学者に、農夫が声をかけた。

「センセイ、あっちに群れてる馬が何頭か、数えられるかね」

「もちろん、簡単なことさ」

　学者が、たちどころに数をいい当てたので、農夫がおどろく。

「たいしたもんだ、しかしどうやって計算したんです？」

「それはだな、まず足の本数を数えて、４で割るのだ」

　つぎの日、散歩中の農夫に、学者が声をかけた。

「やぁきみ、あっちに群れてる鹿が何頭か、数えられるかね」

「もちろん、簡単なことさ」

　農夫が、たちどころに数をいい当てたので、学者がおどろく。

「たいしたもんだ、しかしどうやって計算したんだい？」

「それはだね、まず角の本数を数えて、２で割ったのさ」

「馬と鹿と、どっちが数えやすいか」「もちろん馬だ」「いや鹿だ」

というわけで、どっちが利口か分らなくなる。

　よーく勉強しないと、馬鹿な大人になりますよ、という教訓。

（フランス小噺と《史記・始皇本紀》二世皇帝の故事を合成）

http://d.hatena.ne.jp/adlib/19910330

　羊たちの伝説

気分転換に、調子にのって書いてみますが（いい加減に書いているので、ポイントは不要です）。。。

> 数学が役立つことを教え、それが達成できた上で

>

> 因数分解が数学に役立つことを教えるべきです。

あくまでもバランスの問題でしょうけど、この考え方は少し危険かもしれないですね。

基礎を全て完全に習得して初めて次の課題に移るべきであるという完全習得主義と、ある意味で一脈通じるような気がします。

『後になったら絶対に役に立つから勉強しろ』という押しつけに対しては、『後で役に立たなかったら、誰がそのコストを補償してくれるんだ？』という反論が返ってくるので、だからこそ、なんのために勉強するか、教える側に説明責任が発生するのだろうと思います。

昔はそういう落ちこぼれの反論は無視されてきたというか、『知らないことは恥ずかしいことである』とか、『先生のいうことはひとまず聞いておけ』という社会的なコンセンサスがあったので、表だって問題視されなかったと思うけど…。

しかし、この説明責任の原理を金科玉条のように死守すると、数学が役に立つかどうか、納得できるまで数学の学習を永遠に先延ばしにすることになってしまいます。

これはこれで不健全な態度でしょう。一時期のアメリカの教育の失敗がこれと似ています（今も成功しているとは絶対に言わないけど）。

当該分野の有用性なんて、大人になってみなければ実感できないことが多いんだから、実際には、その学齢でボンヤリと理解できる範囲の説明で十分でしょう。

中学生の時点で因数分解の有用性が分からなくても、高校に入ってからその有用性が分かればいいんだし、もっと言えば、社会人になってから分かってもいいだろうし。。。こんな具合に螺旋状に納得していくのが現実の勉強じゃないでしょうか。そもそも、その時点で当該の知識の有用性を100%理解したと感じたとしても、後から振り返るとその高揚感も怪しく感じたり、大人でも、そんなものだと思います。

それで、因数分解の話に戻るわけですが、因数分解の有用性を実感するためには、公倍数、公約数以外にも、有効桁数の話もしてあげるといいような気がしています。

そこそこの大学の学生でも、どの程度の精度で数値を求めるべきかということが全く分かっていない人がいるので、数量感覚を磨くという意味でも、どんぶり勘定でオーケーな状況とそうでない状況を明示すべきだろうと思います。

これは知識を道具として見たときに、内容の理解以外にも、適用条件の理解が必要であることとも関係しています。どちらの理解が欠けていても、知識としては落ち着きが悪いと思います。

たぶん、因数分解の場合には、内容面の理解も重要ですが、それ以上に、後者の適用条件の理解を通じて手続き的な必然性を理解（内容面の理解）することが重要なのだろうと思います。抽象的な書き方をすると、「中学生の時点での手続き的な必然性」をどのように示すかが重要になってくるような気がします。

しかし、、、、ダラダラと書いてきましたが、「この人がそう言ってるんだから、ひとまず、納得してやるか」という意味で、先生のキャラクターというのはとても大切だと思います。

たぶん中学生レベルでは、特に女子生徒は、恐ろしいことに、これでかなりの問題がクリヤーできてしまうような気がします。（笑）

仮に私が小学生で、数学教師と一対一で、16のpedagogyさんのような考え方に基づいて回答されたら、怒りを通り越して哀しくなります。その場は表面上は納得したふりをして時間を節約しますけど、以後その教師の数学(応用数学含む)についての話はまともには取り合いません。聞き流しです。

多数生徒対一教師ならば、（教師が置かれている背景を考えて）まあ仕方ないと考える教師もいるのかもと思いますが、やはり（そのような背景を含めて）哀しくて仕方がありません。

＃…数学教育全体が置かれている背景を考えて、16のpedagogyさんのような考え方に基づくより仕方ない、とするしかないのだろうか…。幼少の頃の私の憤りは、どうしようもないものだったのかもなあ…

どう考えても「受験のため」と答えるのが正解だと思います。

たぶん、このような答えは望んでないとはわかりつつあえて書きますが、「因数分解は何の役に立つの？」という子供の疑問は、現実社会をみれば至極自然な発想の質問で、それに対してあなたが「美しい解答」にこだわるのは、子供が期待する「現実」に応えていないと思います。

小さい子供に文字や数字を教えるときに、前もってその意味や理念をいちいち教えないように、「美しさ」が常に正しいとは限りません。

「受験のため」に説得力がなければ、中卒じゃ結婚できないとか、あることないことでっち上げて「脅す」のもいいかも。ていうか、因数分解を覚えないことのリスクは学歴と理系に進めないといった進路の制限というのが正解で、「後で困っても知らない」としか言えないのでは？

それ以外の方法としては、数学好きになってもらうことを目指すことでしょうか？

どうしても現実的になるのですが、ケーキを何人かで分けるとき一人前何グラムなら何人分とか、最低何グラムは欲しいから、何人前しか取れない、つまり何人居るから、どのケーキを選んで何グラムずつ何人に配るか。それではグループ分けをどうするか。予算はこれだけだから、何グループ作れるか・・・。あまりロマンティックなお話ではありませんが。割り切れなくても因数分解が出来れば素数を調整すれば割り切れる数字がイメージとして浮かぶので、そこから逆算して全体をプランニングできます。ターニングポイントも理解し易い筈です。

完全に脱線なので、テキトーに対応してくださって結構です。

　で、imo758さん、もちろん、理念としてそういうタイプの教育を否定するわけじゃないですよ。(^^;)

　自分の子供にはクドイくらいに、高校以上での応用場面を説明しています。

＃ 反抗期に入ると、娘は父親の説明を聞いてくれなくなるのでちょっとシンドイです。(;_;)

＃ そういう意味で、こいつの話ならば聞いてやろうという態度は重要だと感じてます。

　それで、色々なタイプの生徒を相手にすること以外にも、どれだけ迂回的な説明で納得してもらえるかということは、現実的にかなり重要だと思います。

　因数分解の話からは完全に離れてしまいますけど、たとえば、小学校でてこの原理を勉強しますが、この現象を本格的に理解するためには、モーメントや保存則といった概念が最低限度必要だと思います。しかし、ジュールを持ち出した方がエレガントだし、正しいわけだけど、小学生に対してそんなことは誰もしないでしょう。ひたすら理数教科だけを教えてかまわないのであれば話は別ですが、物理的に時間が全然足りないからです。

　もちろん、教える側の人間としては、そのレベルまで理解している必要があるけど、たぶん、「新しい力の単位が必要なんだよね！」くらいの説明でごまかさざるをえないと思います。学部の一、二年生の基礎科目でも、たぶんこの手のごまかしはそこかしこで散見されたんじゃないでしょうか。それこそ、ディメンジョンが実感できるのは、下手をすると大学院レベルかもしれませんし…。

　ただ、imo758さんの憤りというか、教師に対する不信感も、なんとなく理解できます。

　てこの原理なんかでいうと、おそらく、先生が新しい概念を提示することを完全にスルーしたんじゃないかと推測していますが…。たとえば、小学校のレベルでは、そもそもジュールを知らない教師が理科の実験をやっていることもあるので、残念ながら、正しくごまかしてくれないことがあると思います。

　つまり、ボンヤリとした理解であっても、正しいごまかし方と、そうでないごまかし方があるので、その辺りは峻別すべきだろうということです。この辺りの区別は、高校くらいまでの理科、数学に関していうと、比較的はっきりしていると思いますが、現状は厳しいのかもしれません。よく知らないことを聞かれたときに、一番たちの悪いごまかし方は、「そんな質問をする奴がオカシイ」という返答だと思いますが、まあ、さすがにそんな先生ばかりじゃないだろうと信じています。

　それで、（因数分解の話に無理矢理戻すと ^^;）そういう意味で、因数分解のイメージとして、函数の理解や計算の工夫として必要不可欠であることをおさえておくことは、もの凄く重要なんじゃないかと思うわけです。

ターニングポイントについては私のイメージの世界なので理解されにくいようですね。ＡグループはＸグラムのケーキで何人、ＢグループはＹグラムのケーキで何人±Ｊ人、Ｃグループは・・・などと続き、全部で何人とか、何人までならＧの予算で可能とか、設定がＸＹＺとあるので成立するターニングポイントは何人までとか、Ｊの値はどこまで大きく出来るか（これもポイントです）などです。

これがケーキの世界なら笑っていられるのですが・・・。

情報の暗号化･･･というのにも関連するのですが、

「いかに因数分解が難しいか」を大げさなくらい強調すると

子供は結構興味を持ってくれます。

「知ってる？因数分解って超難しい計算なんだぜ？

お前らよく『電卓があるんだから数学なんて勉強しなくてもいい』とか言うけど、

因数分解は無理だから。何千万円もするすげえコンピュータ使っても

（桁数が大きいと）無理だから。だから暗号を作るのにも使われてんだぜ」

みたいに言うと

「そんな超ムズイ計算を出来る俺らって凄くねえ？」

と思ってくれるようです。

因数分解という視点・・・

整式をいくつかの整式の積で表す方法。

因数分解がなされた整式が因数。

数値が明確にされてない代数の条件付けに使い、それを因数分解することで、代数の可能性を特定することができる。

具体的にどういうところで使われてるのかは分かりませんが、

住宅ローンの比較をするとき、、

条件が違って、単純に利息○％同志、比較できません。

その時に関数を使い、同じ条件にして比較します。。

そうすると、２％より4%の方が有利だったりすることもあるわけです。。

【スマートな反論】ではありませんね・・・

小学校で習う算数には、

・足し算

と

・掛け算

がありますが、

足し算を小学校1年生で習いますが、

掛け算はもうちょっと上の学年で習います。

つまり、難易度は

足し算＜掛け算

ということになります。

あなたが社長だったとして、

自分の会社で人を雇う場合に、

・足し算ができる人間

・掛け算ができる人間

を雇おうとすると、給料は先ほどの式から、

足し算ができる人間　＜　掛け算ができる人間

となります。

（難易度が高い=スキルが高い、という意味で）

さて、あなたの会社で

x^2-2x-15

という仕事をしなければいけない場合、

因数分解を使わないと、

1.掛け算ができる人がx^2を計算する

2.掛け算ができる人が-2xを計算する

3.足し算ができる人が1.と2.の計算結果-15を計算する

となります。

掛け算をする仕事量が2回

足し算をする仕事量が1回

です。

同じ式を因数分解をつかうと

(x-5)(x+3)

になります。

この場合、

1.足し算ができる人が、x-5を計算する

2.足し算ができる人が、x+3を計算する

3.1と2の計算結果を、掛け算ができる人が掛け合わせる

となり、

掛け算をする仕事量が1回

足し算をする仕事量が2回

になりました。

これの意味するところは、

・（スキルが高い）掛け算をする量が減り人件費の削減ができる

ということです。

因数分解に限らず、数学は「楽をする」という思想のもとに考えられた学問だと思っているので、こんなに楽になるんだよ、という例を示すのがよいかとおもいます。

因数分解の基本は共通因数でくくること

例題　 6a+3

答. 3(2a+1)

例えば暮らしの中で、1000円を子供二人で分けるとき、500円玉1枚づつになります。

手元に1枚ではありますが、金額的　500（1+1）＝1000です。

因数は500

同じように考えると　札束もまとまりです。因数は百万。

あらためて身の周りを見ると、あらゆるものがまとまりになっています。（米粒1粒を数える人はいないと思います）

そう考えると、生産・物流・サービス、さまざまなところで因数は基本です。複雑な因数の計算は、

資源のない日本で、日本人が豊かに暮らしてゆくために、いかに付加価値をつけてゆくことが大切です。因数は、この日本をささえる土台になっていると教えてあげて下さい

参考にならなければ、すいません

http://www.bbt757.com/servlet/ShowSummary?prg_id=8602

｢街で外国人に因数分解についてたずねられたときに即答できるじゃんｗｗ｣

って感じで冗談を交えて上記のような具体例を出して説明すると

子供たちの印象にも残ると思います。

因数分解が必要なのではない、考えることが必要なのです。

　あくまでもユーザーとして数学を勉強している人と、純粋に数学を学んでいる人とでアプローチの仕方はだいぶ違うのだろうと思います。たぶん数学を道具と割り切って使っている人の方が圧倒的に多いでしょう。僕もそうです。

　数学を研究対象として考えている人だと、たとえば、公理系の話とかはゾクゾクするような話だと思いますが、たぶん大多数の人はその議論自体がワケ分からん？？？でしょう。他にも、小学校の算数でも、自然数から、有理数、実数へと数の概念が空気のように拡張されていきます。この概念の拡張過程も、本当はロマンに満ちあふれているはずなのに、ロマンを感じる人はもの凄く少ないのではないでしょうか。高校で勉強する複素数にいたっては、もしかしたら、ウゼェ！のひと言で片づけられているのかもしれません。

　この辺りの数学的な面白さとかロマンを伝えることと、因数分解の面白さ、有益さを伝えることが、いったいどのように繋がるのか、、、理数系の教養が軽視されがちな世の中で、両者を結びつけることは非常に厳しいような気がしています。子供たちがつまずくところには、たいてい学問的な対応関係（概念を拡張するような部分）が存在するように感じていますが、つまずいている子供に対して、学問的なロマンを語っても、困惑することが多いような気がします。説明の仕方を間違えると、それこそ、変な電波(^^;)を発しているような、そんな感じに受け止められることもあるような…。

　ひとまず、知識＝道具と割り切って、プラグマティックな立場をとるならば、真理の整合説のようなロマンには到達できるような、気がしますが…。

　もちろん、それではいかんのかもしれませんが…難しいですね。

　完全に脱線したコメントですが…どのようにまとめられるのか、冷やかしとかそういうのを抜きにして、期待しています。

こんな例はどうでしょうか？

新しい部屋に引っ越しました。

押入れの高さが90センチで、ここにユニット型の箱を入れたい。

ユニットは3種類で、それぞれ10、15、20センチです。

ぴったり入れるにはどういう組み合わせがあるでしょうか？

下手にユニットを買うと、積み重ねたときの高さが合わないんですよね。

この場合、90を10、15、20に分解することになり、御質問の趣旨と合っているか自信がありません。ですが、具体例があまり出ないようなので、あえて書きました。