僕は典型的な文系人間なので、そんな僕にも理解できるように、なるべくわかりやすくお願いします。
quintia
2pt
nandedarou3pt
quintiaさんの解説を見て、本質的に分かった気がします。
私の理解を次のような物語風の説明にしてみました。
お時間が合ったら、読んでみて下さい。
●先生が十進君と三進君に言いました。
「１個のりんごを３人に平等に分けなさい。」
十進君は、いつでも１０個に分けてから考えます。
まず、１０個に切り刻みました。それを３人に３切れずつ渡すと、１切れ余りました。
次に、その余った１切れをさらに１０個に分け、それを３人に３切れずつ渡すと、１切れ余りました。
次に、…。
いつまでも終わりません。
三進君は、いつでも３個に分けてから考えます。
１個のりんごを３個に切り分け、３人に１切れずつ渡しました。
●先生が十進君と三進君に言いました。
「１個のりんごを２人に平等に分けなさい」
三進君は、いつでも３個に分けてから考えます。
まず、３個に切り刻みました。それを２人に１切れずつ渡すと、１切れ余りました。
次に、その余った１切れをさらに３個に分け、それを２人に１切れずつ渡すと、１切れ余りました。
次に、…。
いつまでも終わりません。
十進君は、いつでも１０個に分けてから考えます。
あっさり１個のりんごを１０個に切り分け、２人に５切れずつ渡しました。
●先生が十進君（６年生）と十進ちゃん（１年生）に言いました。
「１個のりんごを１人に平等に分けなさい。」
十進君は、いつでも１０個に分けてから考えます。
でも、何年も勉強してきました。今回は分ける必要のないことくらい経験上知っています。
１個のりんごをそのまま、１人に渡しました。
十進ちゃんは、いつでも１０個に分けてから考えます。
まず、１０個に切り刻みました。
「せっかく切ったのに、すぐに全部渡すのは嫌！後で渡すなら一緒ですよね？」
先生は言いました。「絶対に自分で食べたりしちゃダメですよ。守れるならいいです。」
先生の許可を得た十進ちゃんは、１切れ手元に残して、１人に９切れ渡しました。１切れ余りました。
次に、その余った１切れをさらに１０個に分け、それを１人に９切れ渡すと、１切れ余りました。
次に、…。
いつまでも終わりません。
でも、十進ちゃんは、決して自分で食べたりしてませんから、間違ったことをしている訳ではありません。
●考察
通常私たちは、学校教育のせい（か）で１０個に分ける癖（１０進法で考える癖）が着いているんですね。
でも、よく考えると２個に分けて考えてもいいし、５個でもいい…。
さらに、時、分、秒は６０進法でやってるので、１０進法が当たり前でもない。
コンピュータの世界では２進法や１６進法が使われている。
どのやり方が正しいとか間違いとかいうことではなく、表現が違うということ。
しかし、ここで疑問がわきます。エクセルが計算間違いする（http://www.asahi-net.or.jp/~FV6N-TNSK/gates/excel.txt）と言うのです。
表現が違うだけで、正しいとするならば、１０進法を２進法で扱っても計算間違いはしないハズ。なのに、なぜエクセルは間違うのか？
私はこれを読んでみて、２進法で表せない数があるというよりも、無限に続くということをコンピュータの計算に反映させるのが難しいからなんだと理解しました。
以上、素人考えで不正確な点や誤りもあると思いますが、私はなんとなく感覚的に分かったつもりになりました。
突っ込みどころ満載かも知れませんが、あえて投稿しました。
quintia1pt
狭いPHSの画面で読んだので、十進君と十進ちゃんが最初府に落ちなかったのですが、読み返してみて「面白いな」と思いました。
十進君と三進君は私が示したかったことを、とても上手に表現していると思います。
3
3
3進数で考えましょうよ!
1→1
2→2
3→10
4→11
:
:
1÷3 → 0.1
2÷3 → 0.2
1÷9 → 0.01
:
:
てな感じです。
1/3 × 3 という10進数のかけ算は 3進数ではどう書きますか?
0.1 × 10 ですね?
ほらなんの不思議もなく 0.1 × 10 = 1 になったじゃないですか!
じゃ、10進数の 1/2 × 2 = 1 を 3進数で書くとどうなるでしょう?
1/2 は 3進数で書こうとすると 0.11111111…… という循環小数になります。
3進数だと 0.11111111……× 2 = 0.22222222……になりますね?
さて、この「0.22222222…… という数」はなんでしょう?
さっきはさらっと書いてしまったので、もう一度確認しますよ。
1/2 × 2 = 1 ですね? これを認めない、間違いだ、なんて言いませんよね?
ならば 3進数表記下での循環小数 0.2222222…… は 1 以外の何か別の数だというのですか?
同じように、10進数の 0.9999999…… も、1 なのですよ。