Velocidade de escape

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler

Ônibus Espacial Atlantis parte na missão STS-71. A necessidade de atingir a velocidade de escape não se aplica de forma estrita a veículos autopropulsionados e aqueles que não deixam a órbita da Terra, como o Ônibus Espacial.

Velocidade de escape, em física, é a velocidade na qual a energia cinética de um corpo é igual em magnitude à sua energia potencial em um campo gravitacional.

Ela é normalmente descrita como a velocidade necessária para "libertar-se" de um campo gravitacional; entretanto, isto não vale para objetos que tem propulsão própria, pois tal objeto pode libertar-se com qualquer velocidade maior do que zero, por exemplo mantendo uma velocidade constante de mesma direção que o peso mas de sentido contrário.

Introdução

Análise de Isaac Newton da velocidade de escape

Para um dado campo gravitacional e uma dada posição, a velocidade de escape é a velocidade mínima que um objeto sem propulsão precisa para mover-se indefinidamente da origem do campo, em vez de cair ou ficar em órbita a uma certa distância da origem. Para isto acontecer o objeto não deve ser influenciado por nenhuma força significante exceto o campo gravitacional; em particular não pode haver propulsão (como em um foguete), nem haver atrito significativo (como o entre o objeto e a atmosfera terrestre - essas condições correspondem à queda livre), e não há radiação gravitacional.

Um aspecto um pouco contraintuitivo da velocidade de escape é que ela é independente de direção, então "velocidade" é um termo incorreto; é uma quantidade escalar e seria melhor descrita como "rapidez para escape" ou "velocidade escalar de escape". A forma mais simples de derivar a fórmula da velocidade de escape é usar a conservação de energia, assim: para poder escapar, um objeto tem que ter pelo menos tanta energia cinética quanto o acréscimo de energia potencial resultante de mover-se para uma altura infinita.

Definida de uma maneira um pouco mais formal, "velocidade de escape" é a velocidade inicial necessária para ir de um ponto em um campo potencial gravitacional para o infinito com uma velocidade residual zero, relativa ao campo. Da mesma forma, um objeto que parte do repouso no infinito e cai em direção à massa que o atrai irá, em sua trajetória (até atingir a superfície), mover-se a uma velocidade igual à velocidade de escape correspondente a sua posição. Em geral, o ponto inicial está na superfície de um planeta ou de uma lua. Na superfície da Terra, a velocidade de escape é cerca de 11,2 quilômetros por segundo, o equivalente a 40 320 km/h, cerca de 111 vezes mais rápido do que um carro de fórmula 1 em reta livre, ou cerca de 30 vezes mais rápido do que a velocidade do som a 25 °C. Entretanto, a 9 000 km de altitude é pouco menor que 7,1 km/s.

A velocidade de escape relativa à superfície de um corpo em rotação depende da direção em que o corpo que está escapando viaja. Por exemplo, como a velocidade de rotação da Terra é de 465 m/s para o leste no equador um foguete lançado tangencialmente do equador da Terra para o leste precisa de uma velocidade inicial de cerca de 10,735 km/s relativa à Terra para escapar enquanto um foguete lançado tangencialmente do equador para o oeste necessita de uma velocidade inicial de cerca de 11,665 km/s relativa à Terra. A velocidade superficial diminui com o cosseno da latitude geográfica, desta forma as estações de lançamento de foguetes são localizadas geralmente próximas do equador tanto quanto possível, como por exemplo o Cabo Canaveral americano na Flórida e o Centro Espacial da Guiana europeu, somente cinco graus do equador, na Guiana Francesa (ou o Centro de Lançamento de Alcântara brasileiro, situado a 2°22'54,70"S, bem mais perto da linha do equador).^{[carece de fontes]}

De forma simplificada, todos os objetos na Terra têm a mesma velocidade de escape. Não importa se a massa é 1 kg ou 1 000 kg, a velocidade de escape é sempre a mesma. O que muda de um caso para outro é a quantidade de energia necessária para acelerar a massa até a velocidade de escape: a energia necessária para um objeto de massa m escapar do campo gravitacional da Terra é $GMm/r_{0}$, uma função da massa do objeto (onde ${r_{0}}$ é o raio da Terra). Objetos mais massivos necessitam de mais energia para atingir a velocidade de escape.

Enganos comuns

A velocidade de escape é às vezes confundida com a velocidade com que um veículo autopropulsionado (como um foguete) deve atingir para deixar a órbita, entretanto este não é o caso. A velocidade de escape citada faz referência a velocidade que um objeto qualquer necessita para sair do efeito da gravidade na superfície do planeta. Porém, à medida que a altitude aumenta, essa velocidade diminui.

Um objeto autopropulsionado pode continuar se afastar do planeta em qualquer direção a uma velocidade menor que a velocidade de escape. Se a velocidade do objeto for abaixo da velocidade de escape para dada altura e a propulsão for removida, o objeto irá cair ou entrar em órbita. Se a velocidade for igual ou acima da velocidade de escape naquele ponto, ele terá energia suficiente para "escapar" do campo gravitacional, e não irá voltar para a superfície.

Órbita

Se um corpo em queda livre em qualquer posição tem a velocidade de escape para aquela posição, o mesmo vale para a órbita completa. Se a origem da gravidade é um corpo esférico simétrico a órbita é (parte de) uma parábola com o centro da origem como foco (trajetória parabólica), ou parte de uma linha reta que passa pela origem. Quando se afasta da fonte, é chamada de órbita de escape, caso contrário é uma órbita de captura. As duas são também conhecidas como órbitas C3 = 0.

Um escape real necessita que a órbita parabólica não intercepte o corpo celestial. De forma mais geral, para um corpo com forma arbitrária é necessário que a órbita não intercepte o corpo. Para corpos não-convexos, nem todos os pontos na superfície precisam ser um ponto de partida possível para a órbita.

Se o corpo possuir a velocidade de escape em relação à Terra, ainda não é suficiente para escapar do Sistema Solar, assim as órbitas próximas à Terra se assemelham à parábolas, mas mais adiante elas se curvam para formar uma órbita elíptica em torno do Sol.

Lista de velocidades de escape

Posição	em relação a	Ve		Posição	em relação a	Ve
no Sol,	gravidade do Sol:	617,5 km/s
em Mercúrio,	gravidade de Mercúrio:	4,4 km/s		em Mercúrio,	gravidade do Sol:	67,7 km/s
em Vénus,	gravidade de Vênus:	10,4 km/s		em Vênus,	gravidade do Sol:	49,5 km/s
na Terra,	gravidade da Terra:	11,2 km/s		na Terra/Lua,	gravidade do Sol:	42,1 km/s
na Lua,	gravidade da Lua:	2,4 km/s		na Lua,	gravidade da Terra:	1,4 km/s
em Marte,	gravidade de Marte:	5,0 km/s		em Marte,	gravidade do Sol:	34,1 km/s
em Júpiter,	gravidade de Júpiter:	59,5 km/s		em Júpiter,	gravidade do Sol:	18,5 km/s
em Saturno,	gravidade de Saturno:	35,5 km/s		em Saturno,	gravidade do Sol:	13,6 km/s
em Urano,	gravidade de Urano:	21,3 km/s		em Urano,	gravidade do Sol:	9,6 km/s
em Netuno,	gravidade de Netuno:	23,5 km/s		em Netuno,	gravidade do Sol:	7,7 km/s
no sistema solar,	a gravidade da Via Láctea:	~1000 km/s

Para deixar o planeta Terra é necessária uma velocidade de escape de 11,2 km/s, entretanto uma velocidade de 42,1 km/s é necesária para escapar da gravidade do Sol (e sair do sistema solar) na mesma posição

Devido à atmosfera, não é útil (e mesmo muito difícil) dar a um objeto próximo à superfície da Terra uma velocidade de 11,2 km/s, já que estas velocidades estão bem além dos regimes supersônicos para a maioria dos sistemas de propulsão e faria com que os objetos queimassem devido ao atrito com a atmosfera. Para uma órbita de escape real, uma nave é primeiro colocada em órbita baixa da Terra, e então acelerada até a velocidade de escape naquela altitude, que é um pouco menor, cerca de 10,9 km/s. A aceleração necessária, entretanto, geralmente é bem menor por que naquela órbita a nave já tem uma velocidade de 8 km/s.

Calculando a velocidade de escape

Para o caso simples do escape de um único corpo, a velocidade de escape é tal que a correspondente energia cinética é igual a menos a energia potencial gravitacional. Isto porque a energia cinética positiva é necessária para aumentar o potencial gravitacional negativo para zero, que é o caso para um objeto a distância infinita.

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv_{e}^{2}={\frac {GMm}{r}}$

$v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}={\sqrt {2gr\,}}.$

onde $v_{e}$ é a velocidade de escape, G é a constante gravitacional, M é a massa do corpo do qual se está escapando, m é a massa do corpo que está escapando, g é a aceleração da gravidade, e r é a distância entre o centro do corpo e o ponto no qual a velocidade de escape está sendo calculada, e μ é o parâmetro gravitacional padrão.

A velocidade de escape a uma dada altura é ${\sqrt {2}}$ vezes a velocidade em órbita circular na mesma altura, compare (14) em movimento circular. Isto deve-se ao fato que a energia potencial em relação ao infinito de um objeto em uma órbita destas é menos duas vezes sua energia cinética, enquanto que para escapar a soma das energias cinética e potencial precisa ser zero.

Para o corpo com uma distribuição de massa de simetria esférica, a velocidade de escape $v_{e}$ da superfície (em m/s) é aproximadamente 2,364×10⁻⁵ m^1,5kg^-0,5s⁻¹ vezes o raio r (em metros) vezes a raiz quadrada da densidade média ρ (em kgm/m³), ou:

$v_{e}\approx 2,364\times 10^{-5}r{\sqrt {\rho }}.\,$

Derivando a velocidade de escape usando o cálculo

Estas derivações usam o cálculo, as Leis de Newton e as Lei da Gravitação Universal de Newton.

Derivação usando somente g e r

A velocidade de escape da Terra pode ser derivada de "g", "a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Não é necessário conhecer a constante gravitacional G ou a massa M da Terra. Seja

r= o raio da Terra, e

g= a aceleração da gravidade na superfície da Terra.

Sobre a superfície da Terra, a aceleração da gravidade é governada pela lei da gravitação universal, uma lei do inverso do quadrado. Desta forma, a aceleração da gravidade na altura s sobre o centro da Terra (onde s > r) é $g(r/s)^{2}$.

O peso de um objeto de massa m na superfície é g m, e seu peso na altura s sobre o centro da Terra é gm(r / s)².

Consequentemente a energia necessária para elevar um objeto de massa m da altura s sobre o centro da Terra para a altura s + ds (onde ds é um incremento infinitesimal de s) é gm (r / s)² ds.

Como esta decresce suficientemente rápido conforme s aumenta, a energia total para elevar o objeto para uma altura infinita não diverge para o infinito, mas converge para uma quantia finita. Esta quantia é a integral da expressão acima:

$\int _{r}^{\infty }gm(r/s)^{2}\,ds=gmr^{2}\int _{r}^{\infty }s^{-2}\,ds=gmr^{2}\left[-s^{-1}\right]_{s:=r}^{s:=\infty }$

$=gmr^{2}\left(0-(-r^{-1})\right)=gmr.$

É esta a quantia de energia cinética necessária para que o objeto de massa m escape. A energia cinética de um objeto de massa m viajando à velocidade v é (1/2)mv². Assim, precisamos

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}=gmr.$

O fator m é cancelado, e resolvendo para v, obtemos

$v={\sqrt {2gr\,}}.$

Se assumirmos que o raio da Terra seja r= 6 400 quilômetros e a aceleração da gravidade na superfície como g= 9,8 m/s², obtemos

$v\cong {\sqrt {2\left(9,8\ {\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}\right)(6,4\times 10^{6}\ \mathrm {m} )}}=11,2\ \mathrm {km} /\mathrm {s} .$

O que é um pouco mais que 11 km/s, ou um pouco menos que 7 milhas/s, como Isaac Newton calculou.

Derivação usando G e M

Seja G a constante gravitacional e M a massa da Terra ou outro corpo do qual se irá escapar.

$ma=m{\frac {dv}{dt}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\,$

$a={\frac {dv}{dt}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,$

Aplicando a regra da cadeia, obtemos:

${\frac {dv}{dt}}={\frac {dv}{dr}}\cdot {\frac {dr}{dt}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,$

Como $v={\frac {dr}{dt}}$

${\frac {dv}{dr}}\cdot v=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,$

$v\cdot dv=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,dr\,$

$\int _{v_{0}}^{v(t)}v\,dv=-\int _{r_{0}}^{r(t)}{\frac {GM}{r^{2}}}\,dr\,$

${\frac {v(t)^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}={\frac {GM}{r(t)}}-{\frac {GM}{r_{0}}}\,$

Como queremos a velocidade de escape.

$t\rightarrow \infty \ \ r(t)\rightarrow \infty$ e $v(t)\rightarrow 0$

$-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}=-{\frac {GM}{r_{0}}}\,$

$v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}\,$

v₀ é a velocidade de escape e r₀ é o raio do planeta. Note que a derivação acima baseia-se na equivalência entre massa inercial e massa gravitacional.

As derivações são consistentes

A aceleração gravitacional pode ser obtida da constante gravitacional G e a massa da Terra M:

$g={\frac {GM}{r^{2}}},$

onde r é o raio da Terra. Assim

$v={\sqrt {2gr\,}}={\sqrt {{\frac {2GMr}{r^{2}}}\,}}={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\,}},$

portanto as duas derivações dadas acima são consistentes.

Múltiplas fontes

A velocidade de escape de um campo com múltiplas fontes é derivada da energia potencial total por kg naquela posição, relativa ao infinito. As energias potenciais para todas as fontes podem ser simplesmente acrescidas. Para a velocidade de escape isto resulta na raiz quadrada da soma dos quadrados das velocidades de escape de todas as fontes separadas.

Por exemplo, na superfície da Terra a velocidade de escape para a combinação da Terra e do Sol é $\scriptstyle {\sqrt {11,2^{2}\ +\ 42,1^{2}}}\ =\ 43,56\ \mathrm {km} /\mathrm {s}$. Como resultado, para deixar o sistema solar é necessária uma velocidade de 13,6 km/s relativa à Terra na direção do movimento orbital da Terra, já que a velocidade é então acrescida à velocidade de 30 km/s do movimento orbital.

Poço Gravitacional

Ver artigo principal: Poço gravitacional

No caso hipotético de uma densidade uniforme, a velocidade que um objeto deve atingir quando abandonado em um buraco com vácuo hipotético da superfície da Terra para o centro da Terra é a velocidade de escape dividida por $\scriptstyle {\sqrt {2}}$, isto é, a velocidade em uma órbita circular a baixa altitude. De forma correspondente, a velocidade de escape do centro da Terra também deve ser $\scriptstyle {\sqrt {1,5}}$ vezes a da superfície.

Um cálculo mais preciso deve levar em conta o fato que a massa da Terra não é distribuída de forma uniforme conforme nos aproximamos do centro. Isto leva a velocidades maiores.

Veja também Energia potencial.

Bibliografia

BATE, Roger R.; MUELLER, Donald D.; WHITE, Jerry E. Fundamentals of astrodynamics. New York:Dover, 1971. ISBN=0-486-60061-0

Ver também

• Delta-v - velocidade necessária para executar manobras.
• Estilingue gravitacional - técnica de 3 corpos para ganhar energia
• Poço gravitacional
• Problema dos dois corpos
• Buraco negro - possuem uma velocidade de escape acima da velocidade da luz.
• Efeito Oberth - queimar combustível no fundo de um campo gravitacional resulta em velocidades maiores