Axioma da extensão

O axioma da extensão, também chamado axioma da extensionalidade ou ainda axioma da unicidade, cumpre, na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o papel de estabelecer como as relações de pertinência ( $\in$ ) e igualdade de conjuntos ( $=$ ) estão relacionadas. O seu enunciado diz:

Se dois conjuntos $x$ e $y$ são tais que todo elemento de $x$ é elemento de $y$ e todo elemento de $y$ é elemento de $x$ , então $x$ e $y$ são iguais.

Na linguagem da lógica formal podemos enunciá-lo da seguinte forma:

\forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\rightarrow x=y).

O conteúdo deste axioma é claro: um conjunto é completamente determinado pelos elementos que contêm. Alguns matemáticos dizem isso afirmando que um conjunto é determinado pela sua extensão o que é, talvez, não muito claro. O outro nome pelo qual o axioma é conhecido, axioma da unicidade, é mais sugestivo: não há dois conjuntos com exatamente os mesmos elementos.

Pode parecer uma trivialidade formal exigir que se dois conjuntos têm os mesmos elementos então são iguais, mas não é tanto como parece. Halmos diz, em Teoria ingênua dos conjuntos^[1], que é valioso compreender o axioma da extensão não apenas como uma propriedade lógica necessária de igualdade, mas também como uma proposição não-trivial sobre pertinência. Para esclarecer, sugere compararmos pertinência-igualdade de conjuntos com ancestralidade-igualdade de humanos, considerando seres humanos no lugar de conjuntos e colocando $x\in y$ sempre que $x$ for ancestral de $y$ . É claro que neste caso o análogo do axioma da extensão não vale. Realmente, se Bart e Lisa são irmãos, têm então os mesmos ancestrais, contudo não são seres humanos iguais.

Em termos da inclusão de conjuntos ( $\subset$ ) podemos ainda expressar o axioma da extensão como^[2]

\forall x\forall y((x\subset y\wedge y\subset x)\rightarrow x=y).

Em palavras,

A inclusão de conjuntos é anti-simétrica.

A recíproca do axioma da extensão,

\forall x\forall y(x=y\rightarrow \forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)),

é evidentemente verdadeira^[3] e alguns autores referem-se a proposição completa

\forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\leftrightarrow x=y)

como sendo o axioma da extensão. Historicamente isto não é correto mas, por outro lado, não há qualquer problema lógico em enunciar o axioma nesta forma; exceto que a implicação recíproca acrescentada não é, de fato, um axioma^[4].

Ver também

Extensionalidade

Notas

↑ Halmos, pp. 4 e 5
↑ Note que
$\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)$

$\equiv \forall z((z\in x\rightarrow z\in y)\wedge (z\in y\rightarrow z\in x))$

$\equiv \forall z(z\in x\rightarrow z\in y)\wedge \forall z(z\in y\rightarrow z\in x)$

$\equiv x\subset y\wedge y\subset x$
↑ Mera substituição de $y$ por $x$ é o suficiente para verificá-la.
↑ É dedutível.

Referências

Halmos, Paul R (2001). Teoria ingênua dos conjuntos. Tradução de Lázaro Coutinho. Rio de Janeiro: Ciência Moderna. 178 páginas. ISBN 85-7393-141-8

Ligações externas

Axiom ax-ext 2164 em Metamath Proof Explorer (em inglês)
Axiom of extensionality em Encyclopedia of Mathematics (em inglês)
Axiom of Extensionality em MathWorld (em inglês)
Axiom of Extension em ProofWiki (em inglês)

[1] Halmos, pp. 4 e 5

[2] Note que
$\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)$

$\equiv \forall z((z\in x\rightarrow z\in y)\wedge (z\in y\rightarrow z\in x))$

$\equiv \forall z(z\in x\rightarrow z\in y)\wedge \forall z(z\in y\rightarrow z\in x)$

$\equiv x\subset y\wedge y\subset x$

[3] Mera substituição de $y$ por $x$ é o suficiente para verificá-la.

[4] É dedutível.

[1]

[2]

[3]

[4]

v d e Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
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