Cubo

Um cubo ou hexaedro regular é um poliedro com 6 faces congruentes. Além disso, é um dos cinco sólidos platônicos, pois:

• cada face tem 4 arestas;
• de cada vértice partem 3 arestas;
• vale a relação de Euler: $V-A+F=2$, onde $V$ representa o número de vértices, $A$ o número de arestas e $F$ o número de faces.

Cubo
Cubo
Tipo	Sólido platônico
Faces	6
Arestas	12
Vértices	8
Símbolo de Schläfli	{4,3} t{2,4} or {4}×{} tr{2,2} or {}×{}×{}
Símbolo de Wythoff	3
Símbolo de Coxeter-Dynkin
Grupo de simetria	Oh, B3, [4,3], (*432)
Área de superfície	$A=6a^{2}$
Volume	$V=a^{3}$
Ângulo diédrico	90°
Poliedro dual	Octaedro
Propriedades
Regular, Convexo
Planificação

 Nota: Para outros significados de cubo, veja cubo (desambiguação).

O cubo é também um poliedro regular, pois além das características de sólido platônico, possui:

• faces poligonais regulares e congruentes;
• ângulos poliédricos congruentes.

Ainda, é um prisma quadrangular regular, pois possui duas bases paralelas e congruentes (já que é um poliedro regular), suas bases são polígonos regulares (quadrados) e as arestas laterais formam ângulos retos ($90^{\circ }$) com as arestas das bases. No cubo, todos os diedros possuem ângulo reto.

O cubo é também um sólido sociável, já que ele pode ser aglomerado perfeitamente, o que significa que é possível juntar vários cubos sem que sobrem espaços vazios.

Obtenção do número de vértices do cubo utilizando a relação de Euler

Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se:

$6\cdot 4=24$

Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo:

$24\div 2=12$

Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo.

Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:

$V-A+F=2$

sendo $F=6$ e $A=12$, tem-se:

$V-12+6=2\Rightarrow V-6=2\Rightarrow V-6+6=2+6\Rightarrow V=8$

Logo, 8 é o número de vértices do cubo.

Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prisma

Sendo $n$ o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por:

• $2$ bases congruentes;
• $n$ faces laterais e $n+2$ faces no total - as $n$ faces laterais e as $2$ bases (as faces laterais são paralelogramos e dependem do número de lados do polígono da base);
• $n$ arestas laterais e $3n$ arestas no total;
• $2n$ vértices - resultado da soma do número de vértices dos polígonos das bases.

Assim, como o polígono da base do cubo é um quadrado, tem-se:

$n=4.$

Logo, substituindo $n$ por $4$, nas relações estabelecidas acima, conclui-se que:

• $F=n+2=4+2=6$

• $A=3n=3\cdot 4=12$

• $V=2n=2\cdot 4=8$.

Planificação do cubo

O cubo possui, no total, 11 planificações distintas. E são elas:

Planos do Cubo

Área total da superfície do cubo

Como o cubo é formado por 6 faces regulares e congruentes (6 quadrados), basta calcular a área de uma de suas faces e multiplicar por 6.

Sabendo que a área de um quadrado com lado medindo $l$ é dada por $l^{2}$ e supondo que cada aresta do cubo tenha medida $a$, concluí-se que a área de cada face (quadrado) será $a^{2}$.

Logo a área total da superfície do cubo será $6a^{2}$.

Diagonal do cubo

É possível obter a diagonal do cubo utilizando o Teorema de Pitágoras. Basta descobrir o valor da diagonal de uma de suas faces em função do valor da aresta $a$ e depois utilizá-lo para obter a diagonal do cubo.

O segmento ${\overline {AC'}}$ representa a diagonal do cubo.

Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras:

$a^{2}+a^{2}=({\overline {AC}})^{2}$

onde $a$ representa a medida da aresta do cubo e ${\overline {AC}}$ representa a medida da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto:

$a^{2}+a^{2}=({\overline {AC}})^{2}$

$\Rightarrow 2a^{2}=({\overline {AC}})^{2}$

$\Rightarrow {\sqrt {2a^{2}}}={\sqrt {({\overline {AC}})^{2}}}$

$\Rightarrow a{\sqrt {2}}={\overline {AC}}.$

Daí, novamente utilizando o Teorema de Pitágoras:

$a^{2}+({\overline {AC}})^{2}=({\overline {AC'}})^{2}$

em que ${\overline {AC'}}$ representa a diagonal do cubo, $a$ representa a aresta do cubo e ${\overline {AC}}$ a diagonal de uma das faces. Substituindo ${\overline {AC}}$ por $a{\sqrt {2}}$:

$a^{2}+({\overline {AC}})^{2}=({\overline {AC'}})^{2}$

$\Rightarrow a^{2}+{\Big (}{a{\sqrt {2}}}{\Big )}^{2}=({\overline {AC'}})^{2}$

$\Rightarrow a^{2}+2a^{2}=({\overline {AC'}})^{2}$

$\Rightarrow 3a^{2}=({\overline {AC'}})^{2}$

$\Rightarrow {\sqrt {3a^{2}}}={\sqrt {({\overline {AC'}})^{2}}}$

$\Rightarrow a{\sqrt {3}}={\overline {AC'}}.$

Ou seja, a diagonal do cubo é dada por $a{\sqrt {3}}$.

Volume do cubo

Sendo um prisma, o volume do cubo pode ser obtido pelo produto da base pela altura. Assim,

$V=Ab\cdot h$

onde $V$ representa o volume, $Ab$ a área da base e $h$ a altura.

Como a base é um quadrado de lado $a$ e a altura também vale $a$ (já que todas as arestas do cubo possuem a mesma medida), obtém-se:

$V=a^{2}\cdot a\Rightarrow V=a^{3}.$

Caso a aresta seja duplicada, formando um cubo de aresta $2a$, o seu volume será 8 vezes maior que o inicial, pois:

$V=(2a)^{3}\Rightarrow V=8a^{3}.$

Esfera inscrita em cubo/Cubo circunscrito à esfera

Caso a esfera esteja inscrita no cubo, ela tangenciará cada face do cubo exatamente no centro. Assim, a medida da aresta do cubo será o dobro da medida do raio da esfera inscrita, ou seja, será igual a medida do diâmetro da esfera.

Utilizando $r$ para representar a medida do raio da esfera inscrita no cubo:

$2r=a\Rightarrow r={\frac {a}{2}}.$

Esfera circunscrita ao cubo/Cubo inscrito em esfera

Caso o cubo esteja inscrito em uma esfera, todos seus vértices irão tangenciar a esfera.

Se $R$ representa o raio da esfera circunscrita ao cubo, $2R$ representa o diâmetro. Mas o diâmetro da esfera é igual ao valor da diagonal do cubo (já calculado anteriormente). Portanto:

$2R=a{\sqrt {3}}\Rightarrow R={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}.$

Poliedro dual do cubo

O poliedro dual do cubo é o octaedro regular.

Para obter o poliedro dual de um poliedro, inicialmente marca-se o centro de cada face do poliedro original, em seguida liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes e por fim desconsidera-se o poliedro original.

Octaedro

Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta $a$

Como cada vértice do octaedro encontra-se exatamente no centro da face do cubo, basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Daí, cada cateto irá medir a metade da aresta $a$ do cubo. Fixando $x$ para representar a hipotenusa (medida da aresta do octaedro), obtém-se:

$x^{2}=\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}$

$\Rightarrow x^{2}=2\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}$

$\Rightarrow x^{2}=2\cdot {\dfrac {a^{2}}{4}}$

$\Rightarrow x^{2}={\dfrac {2a^{2}}{4}}$

$\Rightarrow {\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {\dfrac {2a^{2}}{4}}}$

$\Rightarrow x={\dfrac {a{\sqrt {2}}}{2}}.$

Portanto, a medida da aresta do octaedro é ${\dfrac {a{\sqrt {2}}}{2}}$.

Exemplos

• 
  Um cubo em rotação
• 
  Dados de 6 faces
• 
  Cubo
  (Matemateca_IME-USP)
• Revolução de um cubo
  (Matemateca_IME-USP)

Ver também

• Tesserato
• Cubo truncado
• Cubo snub
• Cuboctaedro
• Cuboctaedro truncado
• Hexaedro tetrakis

Ligações externas

• Modelo 3D Interativo do Cubo