メビウスの帯の上を歩いていてメビウスの帯と認識できるか

kaitara1さん、こんにちは。

まず非常に理想的な場合を考えます。例えば、水を入れた水槽の中に、水と同じ比重のボールを入れ、水の中でボールは静止しているとします。ボールにはボールが回転したことがわかるように印をします。ねじれているものの上を歩くと、人間も回転運動しますが、ボールのほうはその向きを維持します。すると人間から見て、ボールは回転しているように見え、人間がメビウスの帯を一周して元の位置に元の向きで戻ったときに、ボールは人間から見て元の向きに戻ります。

これは要するに回転運動は加速度運動だからです。

最初の状況でボールを勢いよく回転させておけば、向きの安定性はより増すし、水中に置くのではなく、非常に滑らかなベアリングなどを駆使して、機械的に自由に回転できるようにしておいても良いでしよう。そうすればボールの質量も大きくすることができて安定性も増します。またボールでなくて、独楽でもよいでしょう。（ジャイロスコープになります。）その場合には回転軸の向きが角運動量保存則によって一定になるので、人間が回転するときに、人間から見て回転軸が向きを変えていくように見えます。

回転させると回転軸の向きがより安定になるのは、角運動量が大きければ、向きを変化させるために加えるべき角運動量も大きくなるからです。現実には摩擦があるので、人間がジャイロスコープを持って回転運動をすると、ジャイロスコープの回転軸も少しは影響を受けますが、回転軸の角度の変化で見たときにはそれが非常に小さくなります。

[以下、広辞苑より引用]
ジャイロ‐スコープ【gyroscope】
上下完全に対称な独楽こまの軸を円輪が支え、さらにこれを第2の円輪がこれに直角の軸で支え、さらに第3の円輪がこれを前2者に直角の軸で支えて、独楽の回転が3軸方向に自由度を有するようにした装置。独楽を回転させればその軸は空間に対して一定の方向を保つ。

トポロジーは一見、直感に反するような結果が導かれることがありますから、厳密に議論するとなると、結構、難しいものです。

>メビウスの帯の上を歩いていてメビウスの帯と認識できるか

メビウスの帯であるかどうかの判定は難しいですが、「向きづけ不能」の面であることは容易に区別できるはずです。帯の上を、右向きの（左向きの）小円を描きながら回れば、向きづけが不可能であることがわかります。「向きづけ不能」の曲面は、メビウスの帯以外にも、２次元射影平面などいろいろありますが、境界がある（これは容易に判定できることだと思います）ことから、閉曲面ではなく、帯であることの予想ができます。

帯が何回ねじれているいるかについての判定は残念ながらできません。これを知るには、「絡み数」を知る必要がありますが。それをするためには、２次元ユークリッド空間へ射影しなければなりません、問題の設定上、それは無理なことですよね。

　人間がメビウスの帯の上にいて、メビウスの帯がその人間の世界であれば、その人間はたぶん２次元と認識するでしょうから、メビウスの帯と認識できません。

　その人はいろいろと研究を重ね、超ひも理論なんかを打ち立てるかもしれません。またある人は、「３次元なんて空想の産物だ」などというかもしれません。

基準にできる物や景色などがあれば分かるのでしょうが

闇の中を歩くのなら分からないと思います。
無重力であればなおさらではないでしょうか。
地球の上を歩いて、それが球体であるかどうか認識できないのと同じでしょう。

実際に歩いてみましたが、分かりませんでした。

　：）

重力が無いならば人間は歩いている感覚が持てませんよね？。

充分って言ったって、人によって記憶で地図が頭に描けるのは個人差が有りますよね？。

で、メビウスの環を歩く人間の視界にどれだけの部分が見えているかですね。
すべての部分が見えていれば、ねじれは確認できるでしょう。
地上にある迷路と同じですよ。