위상군

군론에서 위상군(位相群, 영어: topological group)은 위상이 주어진 군으로서 위상적 구조와 대수적 구조가 서로 어울리는 경우이다. 즉, 이는 군의 연산이 연속 함수임을 말한다.

정의

$G$ 가 군인 동시에 위상 공간이라 하자. 이때 군의 연산

G\times G\to G

(x,y)\mapsto xy

와

G\to G

x\mapsto x^{-1}

이 연속 함수일 경우 $G$ 를 위상군이라 한다. (여기에서 $G\times G$ 에는 곱위상을 준다.)

범주론의 언어를 사용하면, 일반적인 군이 집합과 함수의 범주의 군 대상인 것과 마찬가지로, 위상군을 위상 공간과 연속 함수의 범주의 군 대상으로 정의할 수도 있다.

위상군과 연속 군 준동형들의 범주는 $\operatorname {TopGrp}$ 라고 한다.

성질

국소 콤팩트 하우스도르프 위상군의 경우, 하르 측도라는 측도가 (규격화를 무시하면) 표준적으로 존재한다. 국소 콤팩트 아벨 위상군의 경우, 폰트랴긴 쌍대성이 존재한다.

군론적 성질

위상군 $G$ 에서, 임의의 $g\in G$ 에 대하여,

g\cdot \colon G\to G

\cdot g\colon G\to G

는 모두 위상동형사상이며,

^{-1}\colon G\to G

도 위상동형사상이다.

위상군의 임의의 부분군은 (부분 공간 위상에 대하여) 위상군을 이룬다. 위상군 $G$ 의 임의의 정규 부분군 $N\vartriangleleft G$ 에 대한 몫군 $G/N$ 은 (몫위상을 주면) 위상군을 이룬다. 닫힌 정규 부분군의 경우, 몫군은 하우스도르프 공간이다. 열린 정규 부분군의 경우, 몫군은 이산 공간이다.

위상군 $G$ 에서, 항등원을 포함하는 연결 성분 $G_{0}$ 는 $G$ 의 닫힌 정규 부분군을 이루며, 몫군 $G/G_{0}$ 은 완전 분리 공간이다.

위상군 $G$ 의 부분군 $H\leq G$ 에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.

열린닫힌집합이다.
내부가 공집합이다.

모든 열린 부분군은 닫힌 부분군이다. 유한 지표 부분군의 경우, 열린 부분군과 닫힌 부분군인 것은 서로 동치이다. 콤팩트 위상군에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 동치이다.

증명:

만약 $U=\operatorname {int} H$ 이며 $u\in U$ 라면,

H=\bigcup _{h\in H}hu^{-1}U

이며, $g\mapsto hu^{-1}g$ 가 위상동형사상이므로 $hu^{-1}U$ 는 열린집합이다. 따라서, $H$ 는 열린집합이다.

위상군 $G$ 의 임의의 부분군 $H\leq G$ 에 대하여,

H=G\setminus \bigcup _{g\in G\setminus H}gH

이다. 만약 $H$ 가 열린 부분군이라면, 모든 $gH$ 가 열린집합이므로, $H$ 는 닫힌집합이다. 만약 $H$ 가 유한 지표 닫힌 부분군이라면, 모든 $gH$ 가 닫힌집합이며, 서로 다른 $gH$ 들의 수는 유한하므로, $H$ 는 열린집합이다.

만약 $G$ 가 콤팩트 위상군이며, $H$ 가 $H\leq G$ 가 열린 부분군이라면,

G=\bigsqcup _{gH\in G/H}gH

이므로, $G/H$ 는 유한 부분 덮개를 가지며, 이는 스스로일 수밖에 없다. 즉, 지표 $|G:H|=|G/H|$ 는 유한하다.

위상수학적 성질

모든 위상군은 완비 정칙 공간이다. 따라서, 위상군에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

위상군의 기본군은 항상 아벨 군이다. 위상군의 0차 "호모토피 군" $\pi _{0}(G)$ 는 (일반적인 위상 공간의 경우와 달리) 실제로 군을 이루며, 이는 아벨 군이지 않을 수 있다.

버코프-가쿠타니 정리(영어: Birkhoff–Kakutani theorem)에 따르면, 위상군 $G$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

제1 가산 공간이다. 즉, $1_{G}$ 가 가산 국소 기저를 갖는다.
유사 거리화 가능 공간이다.
(왼쪽 불변 유사 거리화 가능성) $G$ 의 위상은 어떤 유사 거리 함수 $d\colon G\times G\to [0,\infty )$ 로부터 유도되며, 이는 $\forall g,h,k\in G\colon d(kg,kh)=d(g,h)$ 를 만족한다.
(오른쪽 불변 유사 거리화 가능성) $G$ 의 위상은 어떤 유사 거리 함수 $d\colon G\times G\to [0,\infty )$ 로부터 유도되며, 이는 $\forall g,h,k\in G\colon d(gk,hk)=d(g,h)$ 를 만족한다.

예

모든 군은 이산 위상을 주거나 비이산 위상을 주어 위상군으로 만들 수 있다. 모든 리 군은 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다. 모든 사유한군 역시 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다.

수론에서, 이델 군 및 갈루아 확대의 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (L/K)$ 은 자연스럽게 위상군을 이룬다. 대수기하학에서, 에탈 기본군은 사유한군이므로 자연스럽게 위상군을 이룬다.

모든 위상 벡터 공간은 덧셈에 대하여 아벨 위상군을 이룬다. 만약 위상 벡터 공간이 유한 차원 실수 벡터 공간이 아니라면, 이는 리 군이 아니다. 실수 또는 복소수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 위에 유니터리 작용소들의 군 $\operatorname {U} ({\mathcal {H}})$ 는 작용소 노름을 부여하면 위상군을 이룬다.

유리수의 덧셈군 $\mathbb {Q}$ 는 위상군을 이루며, 이는 리 군이 아니다.

모든 위상환은 덧셈군으로서 위상군을 이룬다.

참고 문헌

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위상군

Arhangel’skii, Alexander; Tkachenko, Mikhail (2008). 《Topological Groups and Related Structures》 (영어). Atlantis Press. doi:10.2991/978-94-91216-35-0. ISBN 90-78677-06-6.
Husain, Taqdir (1981). 《Introduction to Topological Groups》 (영어). R.E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-89874-193-9.
Pontryagin, Lev S. (1986). 《Topological Groups》 (영어). 번역 Arlen Brown, P.S.V. Naidu 3판. Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-133-6.

같이 보기

외부 링크

“Topological group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Topological group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Topological group”. 《nLab》 (영어).
“Subgroup of topological group is either clopen or has empty interior”. 《PlanetMath》 (영어).
Terence Tao (2011년 5월 17일). “The Birkhoff-Kakutani theorem”. 《What's new》 (영어).