완전체

추상대수학에서 완전체(完全體, 영어: perfect field)는 그 갈루아 이론이 특별히 단순한 체이다.

정의

체 $K$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는 체를 완전체라고 하며, 완전체가 아닌 체를 불완전체(영어: imperfect field)라고 한다.

$K$ 에 대한 기약 다항식은 분해 가능 다항식하다.
$K$ 의 모든 유한 확대는 분해 가능 확대이다.
$K$ 의 모든 대수적 확대는 분해 가능 확대이다.
$K$ 의 표수가 0이거나, 아니면 표수가 $p>0$ 인 경우 모든 $a\in K$ 에 대하여 $b^{p}=a$ 인 $b$ 가 존재한다.
$K$ 의 표수가 0이거나, 아니면 표수가 $p>0$ 인 경우 프로베니우스 사상 $a\mapsto a^{p}$ 이 $K$ 의 자기 동형 사상을 이룬다.

증명:

첫째·둘째·셋째 조건은 분해 가능 확대의 정의에 따라 자명하게 동치이다. 표수가 $p>0$ 인 경우 프로베니우스 사상은 항상 $K$ 의 단사 자기 준동형이므로, 넷째 조건과 다섯째 조건이 서로 동치이다.

첫째 조건 ⇒ 넷째 조건. $K$ 에 대한 기약 다항식이 분해 가능 다항식이며, $K$ 의 표수가 $p>0$ 이며, $b\in {\bar {K}}$ 이며, $b^{p}\in K$ 일 때, $b\in K$ 임을 보이면 충분하다. $f\in K[x]$ 가 $b$ 의 최소 다항식이라고 하자. $b$ 는 다항식

(x-b)^{p}=x^{p}-b^{p}\in K[x]

의 근이므로, $f(x)$ 는 이 다항식을 나눈다.

f(x)=(x-b)^{n}

1\leq n\leq p

이라고 하자. $f(x)$ 는 기약 다항식이므로, 가정에 따라 분해 가능 다항식이다. 즉, $n=1$ 이다. $f\in K[x]$ 이므로, $b\in K$ 이다.

넷째 조건 ⇒ 첫째 조건. 만약 $K$ 의 표수가 0이라면, 임의의 기약 다항식 $f\in K[x]$ 에 대하여, $f'\neq 0$ 이므로 $f$ 는 분해 가능 다항식이다. 이제, $K$ 의 표수가 0이며, 프로베니우스 사상 $a\mapsto a^{p}$ 이 전사 함수이며,

f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots \in K[x]

가 임의의 기약 다항식이며, 분해 가능 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면,

0=f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+\cdots

이다. $i=0,1,2,\dots$ 에 대하여, $ia_{i}=0\in K$ 이므로, $p\nmid i$ 일 때 $a_{i}=0$ 이다. 이제, 임의의 $j=0,1,2,\dots$ 에 대하여, $a_{pj}=b_{j}^{p}$ 인 $b_{j}\in K$ 를 잡자. 그렇다면,

{\begin{aligned}f(x)&=a_{0}+a_{p}x^{p}+a_{2p}x^{2p}+\cdots \\&=b_{0}^{p}+b_{1}^{p}x^{p}+b_{2}^{p}x^{2p}+\cdots \\&=(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots )^{p}\end{aligned}}

이다. 이는 $f(x)$ 가 기약인 데 모순이다. 따라서, $K$ 에 대한 모든 기약 다항식은 분해 가능 다항식이다.

보다 일반적으로, 표수가 0이거나, 아니면 양의 소수 표수를 가지며 프로베니우스 사상이 자기 동형 사상을 이루는 가환환을 완전환(完全環, 영어: perfect ring)이라고 한다. (이는 하이먼 배스가 도입한 "완전환" 개념과는 다른 개념이다.)

완전 폐포

양의 표수 $p$ 의 체 $K$ 에 대하여, $K$ 를 포함하는 ${\bar {K}}$ 속의 가장 작은 체를 완전 폐포(完全閉包, 영어: perfect closure) $K^{p^{-\infty }}$ 라고 한다. 이는 $k$ 에 모든 $n=1,2,3,\dots$ 에 대한 $p^{n}$ 제곱근을 첨가하여 얻는다.

K^{p^{-\infty }}=K\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }\{a^{p^{-n}}\colon a\in K\}\right)\subseteq {\bar {K}}

보다 일반적으로, 소수 표수 $p$ 의 가환환 $R$ 의 완전 폐포 $\iota \colon R\to R^{p^{-\infty }}$ 는 $R$ 를 포함하는 가장 작은 완전환이다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.

임의의 표수

p

의 완전환

S

및 환 준동형

\iota '\colon R\to S

에 대하여,

\iota '=f\circ \iota

가 되는 환 준동형

f\colon R^{p^{-\infty }}\to S

가 유일하게 존재한다.

{\begin{matrix}R^{p^{-\infty }}&{\xrightarrow {\exists !}}&S\\\uparrow &\nearrow \\R\end{matrix}}

이는 항상 존재하며, 체의 경우와 마찬가지로 모든 $p^{n}$ 제곱근들을 첨가하여 얻는다.

예

대수기하학을 제외하고, 수학에서 등장하는 대부분의 체들은 완전체이다.

표수가 0인 체는 완전체이다. 따라서, 실수체·복소수체·p진수체 등이 모두 완전체이다.
모든 유한체 $\mathbb {F} _{p^{n}}$ 또한 완전체이다.
모든 대수적으로 닫힌 체는 (표수가 0이 아니더라도) 완전체이다.

완전체가 아닌 체의 예로는 표수가 $p$ 인 체 $K$ 에 대한 유리 함수체 $K(x)$ 가 있다. $x\in K(x)$ 의 경우 ${\sqrt[{p}]{x}}$ 가 존재하지 않기 때문이다.

같이 보기

반완전환

외부 링크

“Perfect field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Perfect field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Perfect field”. 《nLab》 (영어).