수학 에서 실수 체계를 정의하는 방법은 다양하다. '실수 공리 ' 문단에서는 실수를 완비순서체로서 공리화하였다. 집합론 공리 하에, 실수 공리계를 만족하는 실수 모형 이 존재하며, 임의의 두 모형이 동형 임을 보일 수 있다. 대부분의 실수 모형은 순서체로서의 유리수 체계의 기본적 성질을 이용하여 구성되었다.
실수의 모형은 집합
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
0
,
1
{\displaystyle 0,1}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
이항연산
+
,
×
{\displaystyle +,\times }
덧셈 , 곱셈 이라고 한다), 그리고
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
이항관계
≤
{\displaystyle \leq }
(
R
,
+
,
×
)
{\displaystyle \left(\mathbf {R} ,+,\times \right)}
체 를 이룬다. 즉,
임의의
x
,
y
,
z
∈
R
{\displaystyle x,y,z\in \mathbf {R} }
(
x
+
y
)
+
z
=
x
+
(
y
+
z
)
,
(
x
×
y
)
×
z
=
x
×
(
y
×
z
)
{\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z),(x\times y)\times z=x\times (y\times z)}
결합법칙 )
임의의
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbf {R} }
x
+
y
=
y
+
x
,
x
×
y
=
y
×
x
{\displaystyle x+y=y+x,x\times y=y\times x}
교환법칙 )
임의의
x
,
y
,
z
∈
R
{\displaystyle x,y,z\in \mathbf {R} }
x
×
(
y
+
z
)
=
(
x
×
y
)
+
(
x
×
z
)
{\displaystyle x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}
분배법칙 )
임의의
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbf {R} }
x
+
0
=
x
{\displaystyle x+0=x}
항등원 의 존재)
0
≠
1
{\displaystyle 0\neq 1}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbf {R} }
x
×
1
=
x
{\displaystyle x\times 1=x}
임의의
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbf {R} }
−
x
∈
R
{\displaystyle -x\in \mathbf {R} }
x
+
(
−
x
)
=
0
{\displaystyle x+(-x)=0}
역원 의 존재)
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
x
−
1
∈
R
{\displaystyle x^{-1}\in \mathbf {R} }
x
×
x
−
1
=
1
{\displaystyle x\times x^{-1}=1}
(
R
,
≤
)
{\displaystyle \left(\mathbf {R} ,\leq \right)}
전순서 집합 을 이룬다. 즉,
임의의
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbf {R} }
x
≤
x
{\displaystyle x\leq x}
반사성 )
임의의
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbf {R} }
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
y
≤
x
{\displaystyle y\leq x}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
반대칭성 )
임의의
x
,
y
,
z
∈
R
{\displaystyle x,y,z\in \mathbf {R} }
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
y
≤
z
{\displaystyle y\leq z}
x
≤
z
{\displaystyle x\leq z}
추이성 )
임의의
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbf {R} }
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
y
≤
x
{\displaystyle y\leq x}
완전성 )
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
+
,
×
{\displaystyle +,\times }
≤
{\displaystyle \leq }
임의의
x
,
y
,
z
∈
R
{\displaystyle x,y,z\in \mathbf {R} }
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
x
+
z
≤
y
+
z
{\displaystyle x+z\leq y+z}
임의의
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbf {R} }
0
≤
x
{\displaystyle 0\leq x}
0
≤
y
{\displaystyle 0\leq y}
0
≤
x
y
{\displaystyle 0\leq xy}
순서
≤
{\displaystyle \leq }
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
위로 유계 이면
A
{\displaystyle A}
상한 을 가진다. 첫번째 성질은 체 공리 , 둘째와 셋째를 합쳐서 순서 공리 , 넷째는 (데데킨트) 완비성 공리 라고 한다.
유리수는 순서체, 즉 체 공리와 순서 공리를 만족하는 수 체계이지만, 데데킨트 완비성 공리는 만족하지 않는다. 이는 완비성이 실수의 근본적인 성질임을 엿보여 준다. 데데킨트 완비성으로부터 아르키메데스 성질 을 유추할 수 있다. 아래 문단 에 실수 공리의 몇가지 모형이 제시되어 있다. 실수 공리의 임의의 두 모형은 서로 동형이다. 즉, 완비순서체는 동형의 의미 하에 유일하다.
여기서 임의의 두 모형
(
R
,
0
R
,
1
R
,
+
R
,
×
R
,
≤
R
)
,
(
S
,
0
S
,
1
S
,
+
S
,
×
S
,
≤
S
)
{\displaystyle \left(\mathbf {R} ,0_{\mathbf {R} },1_{\mathbf {R} },+_{\mathbf {R} },\times _{\mathbf {R} },\leq _{\mathbf {R} }\right),\left(\mathbf {S} ,0_{\mathbf {S} },1_{\mathbf {S} },+_{\mathbf {S} },\times _{\mathbf {S} },\leq _{\mathbf {S} }\right)}
전단사 함수
f
:
R
→
S
{\displaystyle f:\mathbf {R} \to \mathbf {S} }
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
S
{\displaystyle \mathbf {S} }
f
(
0
R
)
=
0
S
,
{\displaystyle f(0_{\mathbf {R} })=0_{\mathbf {S} },}
f
(
1
R
)
=
1
S
,
{\displaystyle f(1_{\mathbf {R} })=1_{\mathbf {S} },}
임의의
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbf {R} }
f
(
x
+
R
y
)
=
f
(
x
)
+
S
f
(
y
)
{\displaystyle f(x+_{\mathbf {R} }y)=f(x)+_{\mathbf {S} }f(y)}
f
(
x
×
R
y
)
=
f
(
x
)
×
S
f
(
y
)
{\displaystyle f(x\times _{\mathbf {R} }y)=f(x)\times _{\mathbf {S} }f(y)}
임의의
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbf {R} }
x
≤
R
y
{\displaystyle x\leq _{\mathbf {R} }y}
필요충분조건 은
f
(
x
)
≤
S
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)\leq _{\mathbf {S} }f(y)}
실수의 각 구성은 수학적으로나 역사적으로나 중요성이 크다. 앞의 세 개는 각각 게오르크 칸토어 /찰스 메레 , 리하르트 데데킨트 , 카를 바이어슈트라스 /오토 슈톨츠 에 의한 것으로 모두 몇년 간격으로 나타났으며, 각각의 장단점이 존재한다. 이 세가지 구성의 주된 동기는 수학 교육이다.
거리 공간 의 모든 코시 수열 을 수렴하게 만드는 정석적 방법은 완비화 를 통해 거리 공간에 새로운 점을 추가하는 것이다.
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} }
|
x
−
y
|
{\displaystyle |x-y|}
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} }
p진수 참고.
유리수 코시 수열, 즉 임의의 유리수
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
N
{\displaystyle N}
m
,
n
>
N
{\displaystyle m,n>N}
|
x
m
−
x
n
|
<
ε
{\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon }
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
R
{\displaystyle R}
(
x
n
)
+
(
y
n
)
=
(
x
n
+
y
n
)
{\displaystyle (x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})}
(
x
n
)
×
(
y
n
)
=
(
x
n
×
y
n
)
{\displaystyle (x_{n})\times (y_{n})=(x_{n}\times y_{n})}
R
{\displaystyle R}
동치관계 는, 앞서 정의한 덧셈, 곱셈, 순서에 대해 불변이며, 동치류 들의 집합
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
모든 실수 공리 를 만족하는 것을 보일 수 있다. 유리수
r
{\displaystyle r}
(
r
,
r
,
r
,
.
.
.
)
{\displaystyle (r,r,r,...)}
동치류 로 재정의함으로써
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} }
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
매장 시킬 수 있다.
'
(
x
n
)
,
(
y
n
)
{\displaystyle (x_{n}),(y_{n})}
N
{\displaystyle N}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
x
n
≥
y
n
{\displaystyle x_{n}\geq y_{n}}
(
x
n
)
≥
(
y
n
)
{\displaystyle (x_{n})\geq (y_{n})}
이러한 구성에서 모든 실수
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
하나의 실수를 여러 가지 수열로 근사할 수 있다 는 관점이 보여진다.
이 구성에서 최소 상계 공리 가 성립함은 다음과 같이 증명할 수 있다.
S
{\displaystyle S}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
u
0
{\displaystyle u_{0}}
u
0
{\displaystyle u_{0}}
S
{\displaystyle S}
l
0
{\displaystyle l_{0}}
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
l
0
<
s
{\displaystyle l_{0}<s}
(
u
n
)
,
(
l
n
)
{\displaystyle (u_{n}),(l_{n})}
m
n
=
u
n
+
l
n
2
{\displaystyle m_{n}={\frac {u_{n}+l_{n}}{2}}}
S
{\displaystyle S}
맞으면,
l
n
+
1
=
l
n
,
u
n
+
1
=
m
n
{\displaystyle l_{n+1}=l_{n},u_{n+1}=m_{n}}
아니면,
l
n
+
1
=
m
n
,
u
n
+
1
=
u
n
{\displaystyle l_{n+1}=m_{n},u_{n+1}=u_{n}}
두 수열 모두 유리수 코시 수열이며, 서로 동치이다. 이로부터 실수
[
(
l
n
)
]
=
[
(
u
n
)
]
=
u
{\displaystyle [(l_{n})]=[(u_{n})]=u}
n
{\displaystyle n}
모든
l
n
{\displaystyle l_{n}}
S
{\displaystyle S}
모든
u
n
{\displaystyle u_{n}}
S
{\displaystyle S}
첫번째 결론에 의해
S
{\displaystyle S}
b
{\displaystyle b}
l
n
<
b
{\displaystyle l_{n}<b}
u
≤
b
{\displaystyle u\leq b}
u
{\displaystyle u}
S
{\displaystyle S}
u
{\displaystyle u}
S
{\displaystyle S}
≤
{\displaystyle \leq }
십진법 으로 표현된 실수는 자연스럽게 코시 수열로 바꿔 나타낼 수 있다. 예를 들어
π
{\displaystyle \pi }
3.1415... 는 코시 수열
(
3
,
3.1
,
3.14
,
3.141
,
3.1415
,
.
.
.
)
{\displaystyle (3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...)}
0.999… = 1은 코시 수열
(
0.9
,
0.99
,
0.999
,
.
.
.
)
{\displaystyle (0.9,0.99,0.999,...)}
(
1
,
1
,
1
,
.
.
.
)
{\displaystyle (1,1,1,...)}
유리수의 완비화에 의한 실수 구성의 장점 중 하나는, 실수에 국한되지 않고 다른 거리 공간에도 적용 가능하다는 것이다.
순서체 상의 데데킨트 절단
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
최대원소 가 없는 집합
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
분할 이다. 데데킨트 절단을 실수로 두어 실수 체계를 구성할 수 있다. 데데킨트 절단
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
r
{\displaystyle r}
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} }
[ 1]
r
≠
∅
{\displaystyle r\neq \emptyset }
r
≠
Q
{\displaystyle r\neq \mathbf {Q} }
r
{\displaystyle r}
x
∈
r
{\displaystyle x\in r}
y
<
x
{\displaystyle y<x}
y
∈
r
{\displaystyle y\in r}
r
{\displaystyle r}
최대 원소 를 가지지 않는다. 즉, 임의의
x
∈
r
{\displaystyle x\in r}
y
∈
r
{\displaystyle y\in r}
x
<
y
{\displaystyle x<y}
모든 실수의 집합을
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
x
≤
y
⇔
x
⊆
y
{\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}
유리수 끼워넣기: 유리수
q
{\displaystyle q}
{
x
∈
Q
:
x
<
q
}
{\displaystyle \{x\in \mathbf {Q} :x<q\}}
[ 1] 조밀성 에 의해 최대원소가 존재하지 않으므로 데데킨트 절단의 조건을 만족한다. 실수로서의 유리수는 원래 유리수의 성질을 보존한다.
덧셈:
A
+
B
:=
{
a
+
b
:
a
∈
A
,
b
∈
B
}
{\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A,b\in B\}}
[ 1]
뺄셈:
A
−
B
:=
{
a
−
b
:
a
∈
A
,
b
∈
Q
∖
B
}
{\displaystyle A-B:=\{a-b:a\in A,b\in \mathbf {Q} \!\setminus \!B\}}
Q
∖
B
{\displaystyle \mathbf {Q} \!\setminus \!B}
Q
{\displaystyle \mathbf {Q} }
B
{\displaystyle B}
차집합 이다.
반수 (덧셈의 역원)는 뺄셈의 특례이다.
−
B
:=
0
−
B
=
{
a
−
b
:
a
<
0
,
b
∈
Q
∖
B
}
{\displaystyle -B:=0-B=\{a-b:a<0,b\in \mathbf {Q} \!\setminus \!B\}}
절댓값 :
|
A
|
:=
A
∪
(
−
A
)
{\displaystyle |A|:=A\cup (-A)}
곱셈:[ 1]
A
,
B
≥
0
{\displaystyle A,B\geq 0}
A
×
B
:=
{
a
b
:
a
,
b
≥
0
,
a
∈
A
,
b
∈
B
}
∪
{
x
∈
Q
:
x
<
0
}
{\displaystyle A\times B:=\{ab:a,b\geq 0,a\in A,b\in B\}\cup \{x\in \mathbf {Q} :x<0\}}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
|
A
|
×
|
B
|
{\displaystyle |A|\times |B|}
나눗셈의 정의도 곱셈과 비슷하다.
A
≥
0
,
B
>
0
{\displaystyle A\geq 0,B>0}
A
/
B
:=
{
a
/
b
:
a
∈
A
,
b
∈
Q
∖
B
}
{\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A,b\in \mathbf {Q} \setminus B\}}
B
≠
0
{\displaystyle B\neq 0}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
|
A
|
/
|
B
|
{\displaystyle |A|/|B|}
상한:
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
S
{\displaystyle S}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
⋃
S
{\displaystyle \bigcup S}
무리수를 데데킨트 절단으로 표현하는 예로, 2의 양의 제곱근 은 집합
A
=
{
x
:
x
<
0
∨
x
×
x
<
2
}
{\displaystyle A=\{x:x<0\lor x\times x<2\}}
[ 2]
A
{\displaystyle A}
A
×
A
=
2
{\displaystyle A\times A=2}
A
{\displaystyle A}
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
y
∈
A
{\displaystyle y\in A}
x
<
y
{\displaystyle x<y}
y
=
2
x
+
2
x
+
2
{\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}}
A
×
A
≤
2
{\displaystyle A\times A\leq 2}
q
<
2
{\displaystyle q<2}
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
q
<
x
×
x
{\displaystyle q<x\times x}
이 구성의 장점은 임의의 실수가 유일한 하나의 절단과 대응한다는 점이다.
십진법 에 의한 실수의 표기는 시몬 스테빈 때부터 널리 알려졌다.[ 3] 0.999… 와 1.000… 등을 같은 실수로 정의한 뒤, 실수의 연산과 순서의 정의를 더한다. 십진법에 의한 정의는 코시 열과 데데킨트 절단에 의한 것과 동치이다. 10 외의 다른 밑 을 사용해도 무방하다.
이 구성의 장점은, 실수에 대한 처음의 인상과 가까우며, 함수의 급수 전개를 시사한다는 것이다. 모든 실수 모형의 동형성을 증명하는 표준적 방법은 각각의 모델에서 모든 실수의 소수 전개식을 제시하는 것이다.
이 문단은 비어 있습니다. 내용을 추가해 주세요.
이 문단은 비어 있습니다. 내용을 추가해 주세요.
이 문단은 비어 있습니다. 내용을 추가해 주세요.
이 문단은 비어 있습니다. 내용을 추가해 주세요.
![{\displaystyle [(l_{n})]=[(u_{n})]=u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be668315148791ce1f0a73eb7d2153b7bce3aa97)
