쉼표 범주

범주론에서 쉼표 범주(-標範疇, 영어: comma category)는 같은 공역을 갖는 두 함자로부터 정의되고, 함자들의 공역의 사상들을 대상으로 하는 범주이다.

정의

범주 ${\mathcal {A}}$ , ${\mathcal {B}}$ , ${\mathcal {C}}$ 및 함자

F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}

G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 쉼표 범주 $F\downarrow G$ 는 다음과 같은 범주이다.

$F\downarrow G$ $F\downarrow G$ 의 대상은 다음과 같은 튜플 $(A,B,\phi )$ $(A,B,\phi )$ 이다.
- $A\in {\mathcal {A}}$ , $B\in {\mathcal {B}}$ 는 각각 ${\mathcal {A}}$ 또는 ${\mathcal {B}}$ 의 대상이다.
- $\phi \in \hom _{\mathcal {C}}(F(A),G(B))$ 는 ${\mathcal {C}}$ 속의 사상이다.
$F\downarrow G$ $F\downarrow G$ 의 사상 $(f,g)\in \hom _{F\downarrow G}((A,B,\phi ),(A',B',\phi '))$ $(f,g)\in \hom _{F\downarrow G}((A,B,\phi ),(A',B',\phi '))$ 은 다음과 같은 순서쌍이다.
- $f\in \hom _{\mathcal {A}}(A,A')$ 이며 $g\in \hom _{\mathcal {B}}(B,B')$ 이며, 또한 $\phi '\circ F(f)=G(g)\circ \phi \in \hom _{\mathcal {C}}(F(A),G(B'))$ 이다.
$F\downarrow G$ 의 사상의 합성은 $(f,g)\circ (f',g')=(f\circ f',g\circ g')$ 이다.
$F\downarrow G$ 의 항등 사상은 $\operatorname {id} _{(A,B,\phi )}=(\operatorname {id} _{A},\operatorname {id} _{B})$ 이다.

화살표 범주

화살표 범주(영어: arrow category)는 ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}$ 이며 $F=G=\operatorname {Id} _{\mathcal {C}}$ 인 경우이다. 이 경우는 ${\mathcal {C}}^{\to }$ 라고 쓰며, ${\mathcal {C}}^{\to }$ 의 대상은 ${\mathcal {C}}$ 의 사상이며, ${\mathcal {C}}^{\to }$ 의 사상은 ${\mathcal {C}}$ 의 가환 사각형들이다.

조각 범주

$1$ 이 자명군에 대응하는, 하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주이며, $X^{*}\colon 1\to {\mathcal {C}}$ 가 $1$ 의 유일한 대상을 $X\in {\mathcal {C}}$ 로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 쉼표 범주

{\mathcal {C}}/X=\operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\downarrow X^{*}

를 $X$ 에 대한 조각 범주(영어: slice category)라고 한다. 반대로, 두 함자의 순서를 바꾼 쉼표 범주

X\backslash {\mathcal {C}}=X^{*}\downarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}

를 $X$ 에 대한 쌍대 조각 범주(영어: coslice category)라고 한다.

예

$\{\bullet \}$ 이 한원소 집합이라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주 $\{\bullet \}\backslash \operatorname {Set}$ 는 점을 가진 집합의 범주이다. 마찬가지로, $\{\bullet \}\backslash \operatorname {Top}$ 은 점을 가진 공간의 범주이다. 이들은 대수적 위상수학에서 쓰인다.
대수기하학에서 $\operatorname {Sch} /K$ 는 체의 아핀 공간 $\operatorname {Spec} K$ 에 대한 스킴들의 조각 범주이다. 보다 일반적으로, 스킴 $S\in \operatorname {Sch}$ 에 대하여, $\operatorname {Sch} /S$ 는 $S$ -스킴들의 범주이다.
함자 $D\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set}$ $D\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set}$ 가 $D(S)=S\times S$ $D(S)=S\times S$ 라고 하자. 그렇다면 $\operatorname {Id} _{\operatorname {Set} }\downarrow D$ $\operatorname {Id} _{\operatorname {Set} }\downarrow D$ 는 (스스로로 가는 변을 허용하는) 유향 그래프의 범주이다. 이 경우, 대상은 $(E,V,\operatorname {end} )$ $(E,V,\operatorname {end} )$ 의 꼴인데 $E$ $E$ 는 변의 집합, $V$ $V$ 는 꼭짓점의 집합, 함수 $\operatorname {end} \colon E\to V\times V$ $\operatorname {end} \colon E\to V\times V$ 는 각 변을 양 끝점의 순서쌍으로 대응시키는 함수이다.
- 무향 그래프의 범주를 얻으려면, $D$ 를 $D(S)=(S\times S)/((s,t)\sim (t,s)\forall s,t\in S)$ 로 치환하면 된다.
- 시작점과 끝점이 같은 변을 허용하지 않으려면, $D$ 를 $D(S)=(S\times S)\setminus \{(s,s)|s\in S\}$ 로 치환하면 된다.
$\operatorname {CRing}$ 이 가환환의 범주라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주 $R\backslash \operatorname {CRing}$ 은 $R$ 에 대한 가환 대수의 범주 $R{\text{-CAlg}}$ 와 동치이다.
$\operatorname {forget} \colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Set}$ 가 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자라고 하고, $S^{*}\colon 1\to \operatorname {Set}$ 가 $1$ 의 유일한 대상을 집합 $S$ 로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 $S^{*}\downarrow \operatorname {forget}$ 의 대상은 $S$ 에서 군 $G$ 로 가는 함수 $S\to G$ 이며, $S^{*}\downarrow \operatorname {forget}$ 의 사상은 군 준동형과 일대일 대응된다. 이 경우, $S^{*}\downarrow \operatorname {forget}$ 의 시작 대상은 $S$ 로 생성되는 자유군이다.^[1]^:9