行列値関数

行列値関数（ぎょうれつちかんすう、英: matrix-valued functions）とは行列を変数に持つ特殊関数の総称である^[1]^[2]。

定義

通常の特殊関数はガンマ関数などを除いて、微分方程式の解 (可積分系の厳密解) として定義されることが多い。しかし行列値関数の場合は異なる。

初等関数

$\forall A\in \mathbb {C} ^{n\times n},\quad f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ が与えられたとする。このとき $f(z)$ がどのような関数であれば $f(A)$ に行列としての意味を持たせられるかを考える。自然に思いつくのは多項式の場合：

f(z)=c_{0}+c_{1}z+\cdots +c_{m}z^{m}

このときは当然ながら、

f(A)=c_{0}I+c_{1}A+\cdots +c_{m}A^{m}

と定義するのが合理的である。この考えを発展させることで

f(z):=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}

と定義されているときには

f(A):=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}A^{k}

と定義すればよいということが言える (もちろん行列からなる無限列の収束を適切に定義することも必要不可欠である)^[1]^[2]。例えば行列指数関数などの初等関数は次のように定められる^[1]^[2]:

\exp A:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k},

\sin A:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}A^{2k+1},\quad \cos A:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}A^{2k}.

もしも $f(z)$ がベキ級数表示を持たない場合はLagrange-Sylvester 多項式という道具を使って $f(A)$ を定めることができる^[2]。

特殊関数

代表的な特殊関数、具体的には

などの関数^[8]^[9]、もしくはそのq類似についても行列バージョンを考えることができる^{[Q 1]}^{[Q 2]}^{[Q 3]}^{[Q 4]}^{[Q 5]}^{[Q 6]}。例えば、行列からなる無限乗積の収束を適切に定義したうえで^[10]^[11]、qポッホハマー記号の行列バージョンは次のように定義できる^{[Q 1]}^{[Q 2]}。

(A;q)_{n}\!:=\!\prod _{k=0}^{n-1}(I-Aq^{k}),\quad (A;q)_{\infty }\!:=\!\lim _{n\to \infty }(A;q)_{n},\quad |q|<1,\quad A\in \mathbb {C} ^{n\times n}

これを使って、en:q-gamma functionの行列バージョンも導入できる^{[Q 2]}。

\Gamma _{q}(A):=(q;q)_{\infty }(q^{A};q)_{\infty }^{-1}(1-q)^{I-A},\quad |q|<1

工学的重要性

行列指数関数はen:exponential integratorなどの常微分方程式の数値解法において必要である他^{[A 1]}^{[A 2]}^{[A 3]}^{[A 4]}^{[A 5]}^{[A 6]}^{[A 7]}^{[A 8]}、統計学などにおいて重要視されている^[1]^[12]^[13]。このような背景の下で、数値線形代数の研究者たちは行列値関数の高精度計算^[1]^[14]^{[B 1]}・精度保証付き数値計算^[15]^[16]^[17]^[18]の研究に積極的に取り組んでいる。具体的には、以下の関数が取り組まれている。

行列指数関数^{[B 2]}^{[B 3]}^{[B 4]}^{[B 5]}^{[B 6]}
行列の平方根^{[B 7]}^{[B 8]}^{[B 9]}^{[B 10]}
行列の三角関数^{[B 11]}
行列の実数乗^{[B 12]}^{[B 13]}
行列の対数^{[B 13]}^{[B 14]}
行列のガンマ関数^{[B 15]}
行列の超幾何級数^{[B 16]}^{[B 17]}

$q-$ 類似

^ ^a ^b Salem, A. (2014). The basic Gauss hypergeometric matrix function and its matrix $q$ -difference equation. Linear and Multilinear Algebra, 62(3), 347-361.
^ ^a ^b ^c Salem, A. (2012). On a $q$ -gamma and a $q$ -beta matrix functions. Linear and Multilinear Algebra, 60(6), 683-696.
^ Salem, A. (2016). The $q$ -Laguerre matrix polynomials. SpringerPlus, 5(1), 550.
^ Salem, A. (2017). On the Discrete $q$ -Hermite Matrix Polynomials. International Journal of Applied and Computational Mathematics, 3(4), 3147-3158.
^ Dwivedi, R., & Sahai, V. (2019). On the matrix versions of $q$ -zeta function, $q$ -digamma function and $q$ -polygamma function. Asian-European Journal of Mathematics.
^ Dwivedi, R., & Sahai, V. (2019). On the basic hypergeometric matrix functions of two variables. Linear and Multilinear Algebra, 67(1), 1-19.

ODEの数値計算

^ Hochbruck, M., & Ostermann, A. (2010). Exponential integrators. en:Acta Numerica, 19, 209-286.
^ Al-Mohy, A. H., & Higham, N. J. (2011). Computing the action of the matrix exponential, with an application to exponential integrators. en:SIAM journal on scientific computing, 33(2), 488-511.
^ Del Buono, N., & Lopez, L. (2003, June). A survey on methods for computing matrix exponentials in numerical schemes for ODEs. In International Conference on Computational Science (pp. 111-120). Springer, Berlin, Heidelberg.
^ 行列の指数関数に基づく連立線形常微分方程式の大粒度並列解法とその評価 (日本応用数理学会論文誌 Vol.19, No.3, 2009, pp.293--312) 則竹渚宇, 今倉暁, 山本有作, 張紹良
^ 橋本悠香, & 野寺隆. (2016). 線形発展方程式のための Inexact Shift-invert Arnoldi 法. 情報処理学会論文誌, 57(10), 2250-2259.
^ A Note on Inexact Rational Krylov Method for Evolution Equations by Yuka Hashimoto and Takashi Nodera (2016), research report by the Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Keio University.
^ Hashimoto, Y., & Nodera, T. (2016). Inexact shift-invert Arnoldi method for evolution equations. ANZIAM Journal, 58, 1-27.
^ Hashimoto, Y., & Nodera, T. (2016). Shift-invert rational Krylov method for evolution equations. ANZIAM Journal, 58, 149-161.