Bilangan riil

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real (bahasa Inggris: real number) adalah bilangan yang dipakai untuk mengukur kuantitas dimensi satu yang sinambung seperti jarak, durasi atau suhu.

Himpunan bilangan riil dapat dilambangkan dengan diberi notasi $\mathbb {R}$ . Pengunaan istilah "riil" pertama kali diperkenalkan oleh René Descartes pada abad ke-17, yang bertujuan untuk membedakan akar fungsi riil dan imajiner dari polinomial.^[1]

Bilangan riil meliputi bilangan rasional, seperti bilangan bulat 42 dan pecahan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan ${\sqrt {2}}$ . Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.^[2]

Bilangan riil dapat dipandang sebagai titik-titik yang terletak di sebuah garis yang panjangnya tak terhingga, dan garis itu disebut garis bilangan riil. Garis bilangan riil dapat dipandang sebagai bagian dari bidang kompleks, sedangkan bilangan riil dapat dipandang sebagai bagian dari bilangan kompleks.

Penjelasan tersebut belum cukup cermat berdasarkan standar modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup cermat, dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik, merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada saat ini menyatakan bahwa bilangan riil yang membentuk lapangan terurut Dedekind-lengkap $(\mathbb {R} \,,\,+\,,\,\cdot \,,\,<)$ dengan memperhatikan isomorfisma,^[3] sedangkan definisi konstruktif dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas ekuivalensi dari deret Cauchy (dari bilangan rasional), Dedekind cut, atau "representasi desimal" tak terhingga, sama-sama mempunyai penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi orde. Definisi-definisi ini ekuivalen dan juga memenuhi definisi aksiomatik.

Sifat

Sifat dasar

Bilangan riil mempunyai identitas penambahan: $x + 0 = 0 + x = x$ , dan juga identitas perkalian: $1 x = x 1 = x$ .
Setiap bilangan riil $x$ mempunyai invers penambahan $- x$ sehingga memenuhi $x + (- x) = - x + x = 0$ , dan juga mempunyai invers perkalian $1/ x$ sehingga $x (1/ x) = (1/ x) x = 1$
Untuk setiap bilangan riil bukan nol dapat bernilai negatif atau positif.
Jumlah dan hasil kali dua bilangan riil tak negatif akan menghasilkan bilangan riil tak negatif. Hal ini mengartikan bahwa bilangan-bilangan tersebut tertutup di bawah opersi penambahan dan perkalian.
Bilangan riil membentuk himpunan tak terhingga yang tidak dapat dipetakan secara injektif himpunan bilangan asli yang tak terhingga. Hal ini mengartikan bahwa himpunan bilangan riil mempunyai jumlah bilangan riil yang dikatakan sebagai uncountably infinite, sedangkan himpunan bilangan asli mempunyai jumlah bilangan asli yang countably infinite. Jadi, dapat dinyatakan bahwa bilangan riil mempunyai jumlah yang jauh lebih banyak daripada anggota di himpunan terbilang manapun.
Terdapat sebuah hierarki subhimpunan countably infinite dari bilangan riil, dalam artian bahwa tiap-tiap himpunan bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan aljabar, dan bilangan terhitung merupakan subhimpunan sejati dari objek berikutnya. Komplemen dari semua himpunan-himpunan itu adalah himpunan bilangan irasional, himpunan bilangan transendental, dan himpunan bilangan riil tak terhitung, dan himpunan tersebut dikatakan sebagai uncountably infinite.
Bilangan riil dapat dipakai untuk menyatakan ukuran dari kuantitas kontinu. Bilangan riil dinyatakan dengan representasi desimal, yang mengartikan bahwa hampir semua bilangan riil dinyatakan sebagai bilangan yang mengandung desimal dengan barisan digit tak terhingga, yang dimulai dari kanan tanda desimal. Bilangan riil kerapkali, sebagai contoh, ditulis seperti 324,823122147..., dengan elipsis (dilambangkan tiga titik) mengartikan bahwa masih terdapat lanjutan digit lain.

Kelengkapan bilangan riil

Alasan utama menggunakan bilangan riil adalah agar banyak barisan mempunyai limit. Penjelasan lebih formalnya, bilangan riil dikatakan lengkap dalam pengertian ruang metrik atau ruang seragam; penjelasan ini berbeda dengan kelengkapan orde Dedekind di bagian sebelumnya:

Suatu barisan $(x_{n})$ dari bilangan riil disebut barisan Cauchy jika, untuk setiap $\varepsilon >0$ , terdapat bilangan bulat $N$ (tergantung nilai $\varepsilon$ ), sehingga jarak $\left|x_{n}-x_{m}\right|$ lebih kecil daripada $\varepsilon$ untuk semua $n$ dan $m$ yang lebih besar daripada $N$ . Definisi ini pertama kali dinyatakan oleh Cauchy, yang merumuskan bahwa suku-suku $x_{n}$ akan semakin dekat terhadap satu sama lain.
Suatu barisan $(x_{n})$ akan konvergen menuju limit $x$ , jika anggotanya akan semakin dekat menuju $x$ . Ini mengartikan bahwa untuk setiap $\varepsilon >0$ , akan ada suatu bilangan bulat $N$ (tergantung nilai $\varepsilon$ ) sehingga $\left|x_{n}-x\right|$ lebih kecil daripada $\varepsilon$ untuk $n$ lebih besar daripada $N$ .

Setiap barisan konvergen disebut barisan Cauchy, dan kebalikannya juga benar untuk bilangan riil. Dari pernyataan tersebut, mengartikan bahwa ruang topologi dari bilangan riil dikatakan lengkap.

Himpunan bilangan rasional tidak dikatakan lengkap. Sebagai contoh, barisan $(1;1,4;1,41;1,414;1,4142;1,41421;...)$ , dengan tiap suku yang memperluas desimal akar kuadrat positif dari 2, merupakan barisan Cauchy. Sayangnya, barisan ini tidak konvergen menuju bilangan rasional, dan sebaliknya bahwa dalam bilangan riil, akan konvergen menuju ke akar kuadrat positif dari 2.

Sifat lebih lanjut

Himpunan bilangan riil adalah himpunan tak terhitung. Ini mengartikan bahwa kardinalitas dari himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota yang sangat banyak daripada himpunan bilangan asli, walaupun sama-sama himpunan tak terhingga. Bahkan kardinalitas dari himpunan bilangan riil sama dengan himpunan kuasa dari bilangan asli, dan argumen diagonal Cantor mengatakan bahwa kardinalitas dari himpunan yang terakhir jauh lebih besar daripada kardinalitas dari $\mathbb {N}$ . Karena himpunan bilangan aljabar adalah himpunan terhitung, hampir semua bilangan riil adalah transendental. Ketidakberadaan subhimpunan dari bilangan riil dengan kardinalitasnya berada di antara kardinalitas bilangan bulat dan bilangan riil dikenal sebagai hipotesis kontinum. Hipotesis kontinum tak dapat dibuktikan maupun dibantahkan, dan hipotesis ini independen dari aksioma teori himpunan.

Sebagai ruang topologi, bilangan riil disebut terpisah. Ini disebabkan himpunan bilangan rasional adalah himpunan terhitung, dan rapat di bilangan riil. Bilangan irasional juga rapat di bilangan riil, tetapi himpunannya tak terhitung dan mempunyai kardinalitas yang sama seperti kardinalitas dari himpunan bilangan riil.

Kardinalitas

Himpunan bilangan riil adalah tak terhitung, dalam artian bahwa himpunan bilangan riil tidak dapat dipetakan satu-satu ke himpunan bilangan asli, walaupun sama-sama merupakan himpunan tak terhingga. Bahkan, kardinalitas dari himpunan semua bilangan riil, yang dilambangkan ${\mathfrak {c}}$ dan disebut kardinalitas kontinum, lebih besar dari kardinalitas himpunan semua bilangan asli, yang dilambangkan $\aleph _{0}$ .

Terdapat pernyataan yang berbunyi bahwa tidak ada subhimpunan dari himpunan bilangan riil dengan kardinalitasnya lebih besar dari $\aleph _{0}$ , dan lebih kecil dari ${\mathfrak {c}}$ . Pernyataan itu dikenal sebagai hipotesis kontinum (bahasa Inggris: continuum hypothesis). Sayangnya, hipotesis ini masih belum dibuktikan atau dibantahkan menggunakan aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel yang melibatkan aksioma pemilihan.

Sejarah

Bilangan riil

(\mathbb {R} )

berisi bilangan rasional

(\mathbb {Q} )

, dan bilangan rasional berisi bilangan bulat

(\mathbb {Z} )

, dan bilangan bulat berisi bilangan asli

(\mathbb {N} )

.

Sekitar 1000 SM, bangsa Mesir menggunakan pecahan sederhana. Di zaman Weda, kitab sutra yang berjudul Shulba Sutras mencantum pemakaian bilangan irasional pertama kalinya, dan konsep irasionalitas diterima secara langsung oleh matematikawan berkebangsaan India. Manava (750–690 SM) adalah seorang matematikawan India yang mengetahui bahwa akar kuadrat dari bilangan tertentu, seperti 2 dan 61, tidak dapat ditentukan dengan tepat.^[4] Sekitar 500 SM, matematikawan Yunani dan Pythagoras juga mengetahui bahwa akar kuadrat dari 2 adalah irasional.

Pada abad pertengahan, bilangan-bilangan seperti nol, bilangan negatif, bilangan bulat, dan bilangan pecahan pertama kali dipakai oleh matematikawan India dan Tiongkok. Bilangan-bilangan tersebut kemudian dipakai oleh matematikawan Arab, yang pertama kali memperlakukan bilangan irasional sebagai objek aljabar, yang memungkinkan juga sebagai penemuan aljabar.^[5] Matematikawan Arab menggabungkan konsep bilangan dan magnitudo (besaran) menjadi gagasan bilangan riil yang lebih umum.^[6] Matematikawan Mesir Abū Kāmil Shujā ibn Aslam adalah tokoh yang pertama kali menerima bilangan irasional sebagai solusi persamaan kuadrat, atau sebagai koefisien dalam suatu persamaan (yang seringkali ditulis dalam akar kuadrat, akar kubik, dan akar pangkat empat).^[7]

Pada abad ke-16, Simon Stevin menciptakan basis untuk notasi desimal yang modern, dan menegaskan bahwa tidak ada perbedaan antara bilangan rasional dan bilangan irasional.

Pada abad ke-17, Descartes memperkenalkan istilah "riil" (atau "real") untuk menjelaskan akar polinomial, serta digunakan untuk membedakannya dengan bilangan "imajiner".

Pada abad ke-18 dan ke-19, banyak matematikawan yang mengerjakan bilangan irasional dan bilangan transendental. Lambert (1761) memberikan bukti yang cacat bahwa $π$ tak dapat menjadi rasional, dan bukti itu disempurnakan oleh Legendre (1794)^[8] sekaligus memperlihatkan bahwa $π$ bukanlah akar kuadrat dari suatu bilangan rasional.^[9] Liouville (1840) memperlihatkan bahwa $e$ atau $e 2$ tidak dapat menjadi akar persamaan kuadrat berupa bilangan bulat. Liouville kemudian membuktikan keberadaan bilangan transendental, dan Cantor (1873) memperluas sekaligus menyederhanakan bukti tersebut.^[10] Hermite (1873) membuktikan bahwa $e$ adalah transendental. Lindemann (1882) juga membuktikan bahwa $π$ adalah transendental, dan bukti miliknya disederhanakan oleh Weierstrass (1885), Hilbert (1893), Hurwitz,^[11] dan Gordan.^[12]

Kalkulus dikembangkan dengan menggunakan bilangan riil tanpa harus mendefinisikannya secara cermat. Definisi cermat pertama diterbitkan oleh Cantor di tahun 1871. Pada tahun 1874, Cantor memperlihatkan bahwa himpunan dari semua bilangan riil adalah uncountably infinite, tetapi himpunan dari semua bilangan aljabar adalah countably infinite. Bukti ketaktercacahan Cantor pertama berbeda dengan buktinya yang terkenal, bukti argumen diagonal, yang diterbitkan di tahun 1891.

Definisi formal

Sistem bilangan riil $(\mathbb {R} ,{}+{},{}\cdot {},{}<{})$ dapat didefinisikan secara aksiomatik dengan memperhatikan isomorfisma. Terdapat cara lain mengonstruksi sistem bilangan riil, dan pendekatan yang terkenal melibatkan pendefinisian bilangan asli terlebih dahulu, berlanjut mendefinisikan bilangan rasional secara aljabar, dan terakhir mendefinisikan bilangan riil sebagia kelas ekuivalensi dari barisan Cauchynya atau sebagai Dedekind cut, yang merupakan subhimpunan bilangan rasional tertentu.^[13] Pendekatan lainnya adalah dimulai dari beberapa aksiomatisasi geometri Euklides, dan kemudian mendefinisikan sistem bilangan riil secara geometri.

Pendekatan aksiomatik

Misalkan $\mathbb {R}$ menyatakan himpunan dari semua bilangan riil, maka:

Himpunan $\mathbb {R}$ adalah lapangan, yang berarti opersai penambahan dan perkalian terdefinisi dan mempunyai beberapa sifat-sifat.
Lapangan $\mathbb {R}$ adalah terurut, yang berarti bahwa terdapat orde total $\geq$ sehingga untuk semua bilangan riil $x$ , $y$ , dan $z$ :
- jika $x\geq y$ , maka $x+z\geq y+z$ ; serta
- jika $x\geq 0$ dan $y\geq 0$ , maka $xy\geq 0$ .
Ordenya adalah Dedekind kengkap, yang mengartikan bahwa setiap subhimpunan tidak kosong $S$ dari $\mathbb {R}$ dengan batas atas di $\mathbb {R}$ mempunyai supremum di $\mathbb {R}$ .

Sifat-sifat tersebut menyiratkan sifat Archimedes (yang tak disiratkan dengan definsii kelengkapan lainnya), dan sifat tersebut mengatakan bahwa himpunan bilangan bulat tidak mempunyai batas atas di himpunan bilangan riil. Bahkan jika pernyataan tersebut salah, maka bilangan bulat akan mempunyai batas atas terkecil $N$ , maka $N-1$ tidak akan menjadi batas atasnya, dan akan terdapat suatu bilangan bulat $n$ sehingga $n>N-1$ , dan demikian $n+1>N$ . Pernyataan ini menjadi kontradiksi dengan sifat batas atas $N$ .

Bilangan riil dapat ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat sebelumnya. Lebih tepatnya, diketahui untuk setiap dua lapangan terurut sempurna Dedekind $\mathbb {R} _{1}$ dan $\mathbb {R} _{2}$ , maka akan terdapat satu buah lapangan isomorfisma dari $\mathbb {R} _{1}$ ke $\mathbb {R_{2}}$ . Ketunggalan tersebut memungkinkan bahwa objek-objek tersebut pada dasarnya dapat dipandang sama.

Untuk aksiomatisasi dari $\mathbb {R}$ lainnya, lihat aksiomatisasi bilangan riil Tarski.

Konstruksi dari bilangan rasional

Bilangan riil dapat dikonstruksi sebagai kelengkapan dari bilangna rasional, sehingga sebuah barisan didefinisikan dengan memperluas desimal atau biner, contohnya untuk kasus $\pi$ , (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ...) konvergen menuju satu buah bilangan riil. Untuk mengenal konstruksi bilangan riil lebih lanjut dan konstruksi lainnya, lihat konstruksi bilangan riil.

Penerapan dan kaitannya dengan bidang lain

Bilangan riil dan logika

Bilangan riil seringkali dirumuskan menggunakan aksiomatisasi teori himpunan Zermelo–Fraenkel, tetapi sebagian matematikawan mempelajari bilangan riil menggunakan dasar-dasar logika matematika lainnya. Secara khusus, bilangan riil dipelajari pula dalam reverse mathematics dan matematika konstruksi.^[14]

Bilangan hiperriil saat dikembangkan oleh Edwin Hewitt, Abraham Robinson dan matematikawan lainnya, memperluas himpunan bilangan riil dengan memperkenalkan infinitesimal dan bilangan tak terhingga. Adanya bilangan ini akan dapat membangun kalkulus infinitesimal, sebuah cabang matematika yang mendekati pandangan Leibniz, Euler, Cauchy dan matematikawan lainnya.

Hipotesis kontinum berbunyi bahwa kardinalitas dari himpunan bilangan riil adalah $\aleph _{1}$ , bilangan kardinal tak terhingga terkecil setelah kardinalitas dari bilangan bulat, yaitu $\aleph _{0}$ . Paul Cohen membuktikan pada tahun 1963, bahwa hipotesis tersebut adalah suatu independen aksioma dari aksioma teori himpunan lainnya, dalam artian bahwa seseorang dapat memilih hipotesis kontinum atau negasinya sebagai aksioma teori himpunan, tanpa adanya kontradiksi.

Dalam fisika

Dalam ilmu fisika, hampir semua konstanta seperti konstanta gravitasi semesta; dan variabel seperti posisi, massa, kecepatan, dan muatan listrik, digambarkan menggunakan bilangan riil. Bahkan teori-teori dasar seperti mekanika klasik, elektromagnetisme, mekanika kuantum, relativitas umum dan model standar dijelaskan menggunakan struktur matematika seperti manifold mulus atau ruang Hilbert, yang didasari dengan bilangan riil, walaupun pengukuran kuantitas fisik lainnya akurat dan presisi.

Notasi

Para matematikawan umumnya melambang R sebagai himpunan bilangan riil. Notasi lain untuk himpunan bilangan riil adalah $\mathbb {R}$ , yang dapat diberi kode dalam Unicode (dan HTML) sebagai U+211D ℝ (HTML: ℝ). Karena himpunan ini dilengkapi dengan struktur lapangan, maka bentuk lapangan bilangan riil seringkali dipakai ketika sifat-sifat aljabar diketahui.

Himpunan bilangan riil positif dilambangkan sebagai $\mathbb {R} ^{+}$ dan himpunan bilangan riil negatif dilambangkan $\mathbb {R} ^{-}$ ,^[15] dan notasi lainnya adalah $\mathbb {R} _{+}$ dan $\mathbb {R} _{-}$ .^[16] Himpunan bilangan riil tak negatif dapat dilambangkan $\mathbb {R} _{\geq 0}$ , tetapi himpunan ini seringkali dilambangkan sebagai $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.$ ^[15] Dalam matematika Prancis, bilangan riil positif dan bilangan riil negatif biasanya mengandun nol, dan himpunan tersebut masing-masing dilambangka sebagai $\mathbb {R_{+}}$ dan $\mathbb {R_{-}} .$ ^[16] Himpunan tanpa nol disebut bilangan riil positif sempurna, yang diberi notasi $\mathbb {R} _{+}^{*}$ , dan disebut bilangan riil negatif sempurna, yang diberi notasi $\mathbb {R} _{-}^{*}.$ ^[16]

Notasi $\mathbb {R} ^{n}$ mengacu pada himpunan rangkap- $n$ dari anggota $\mathbb {R}$ (ruang koordinat riil), yang dapat diidentifikasi dengan perkalian Cartesius dari $n$ salinan $\mathbb {R} .$ Notasi tersebut juga mengacu pada ruang vektor dimensi- $n$ atas lapangan bilangan riil, yang kerapkali disebut ruang koordinat dimensi $n$ . Ruang $\mathbb {R} ^{n}$ dapat diidentifikasi dengan ruang Euklides dimensi- $n$ . titik dari ruang Euklides diidentifikasi dengan rangkap dari koordinat Cartesiusnya.

Lihat pula

Catatan kaki

^ "real number | Definition, Examples, & Facts | Britannica". www.britannica.com.
^ Wrede, Robert (2007). "Bilangan". Schaum Outlines:Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut. Penerbit Erlangga. hlm. 1–2.
^ Lebih tepatnya, jika ada dua bidang yang keseluruhan teratur lengkap, maka ada suatu isomorfisma unik di antara keduanya. Di sini tersirat bahwa identitas dari otomorfisma bidang unik dari bilangan riil adalah kompatibel dengan penataan atau pengaturan.
^ T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, ed. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 .
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Arabic mathematics: forgotten brilliance?", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .
^ Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [254], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x
^ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", hlm. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1
^ Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (PI) . St. Martin's Press. hlm. 170.
^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, hlm. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, diakses tanggal 2015-11-15 .
^ Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, hlm. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, diakses tanggal 2015-02-17, Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work
^ Hurwitz, Adolf (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen (43): 134–35.
^ Gordan, Paul (1893). "Transcendenz von e und π". Mathematische Annalen. 43 (2–3): 222–224. doi:10.1007/bf01443647.
^ "Lecture #1" (PDF). 18.095 Lecture Series in Mathematics. 2015-01-05.
^ Bishop, Errett; Bridges, Douglas (1985), Constructive analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 279, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15066-4 , chapter 2.
^ ^a ^b Schumacher 1996, pp. 114–15
^ ^a ^b ^c École Normale Supérieure of Paris, "Nombres réels" ("Real numbers") Diarsipkan 2014-05-08 di Wayback Machine., p. 6

Pranala luar

(Inggris)The real numbers: Pythagoras to Stevin Diarsipkan 2007-02-12 di Wayback Machine.
(Inggris)The real numbers: Stevin to Hilbert Diarsipkan 2007-03-22 di Wayback Machine.
(Inggris)The real numbers: Attempts to understand Diarsipkan 2007-02-12 di Wayback Machine.
(Indonesia)Diktat Analisis Real Jurusan Matematika ITB Diarsipkan 2016-08-21 di Wayback Machine.

[1] "real number | Definition, Examples, & Facts | Britannica". www.britannica.com.

[schaum-2] Wrede, Robert (2007). "Bilangan". Schaum Outlines:Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut. Penerbit Erlangga. hlm. 1–2.

[3] Lebih tepatnya, jika ada dua bidang yang keseluruhan teratur lengkap, maka ada suatu isomorfisma unik di antara keduanya. Di sini tersirat bahwa identitas dari otomorfisma bidang unik dari bilangan riil adalah kompatibel dengan penataan atau pengaturan.

[4] T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, ed. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 .

[5] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Arabic mathematics: forgotten brilliance?", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .

[6] Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [254], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x

[7] Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", hlm. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1

[8] Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (PI) . St. Martin's Press. hlm. 170.

[9] Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, hlm. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, diakses tanggal 2015-11-15 .

[10] Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, hlm. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, diakses tanggal 2015-02-17, Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work

[11] Hurwitz, Adolf (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen (43): 134–35.

[12] Gordan, Paul (1893). "Transcendenz von e und π". Mathematische Annalen. 43 (2–3): 222–224. doi:10.1007/bf01443647.

[13] "Lecture #1" (PDF). 18.095 Lecture Series in Mathematics. 2015-01-05.

[14] Bishop, Errett; Bridges, Douglas (1985), Constructive analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 279, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15066-4 , chapter 2.

[Schumacher96-15] Schumacher 1996, pp. 114–15

[nombres-reels-ens-paris-16] École Normale Supérieure of Paris, "Nombres réels" ("Real numbers") Diarsipkan 2014-05-08 di Wayback Machine., p. 6

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]