Cap-produit

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, le cap-produit est une opération binaire qui permet d'assembler des chaînes et des cochaînes. Elle a été introduite par Eduard Čech en 1936 et indépendamment par Hassler Whitney en 1938.

Définition

Soit X un espace topologique et A un anneau. Le cap-produit est une application bilinéaire définie sur les chaines et les cochaines singulières

$\frown \;:C_{p}(X;A)\times C^{q}(X;A)\rightarrow C_{p-q}(X;A)$

en posant

$\sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]},$

avec $\sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X$ et $\psi \in C^{q}(X;A)$ et où $\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}$ est la restriction de l'application simpliciale $\sigma$ à la face engendrée par les vecteurs $v_{0},\ldots ,v_{q}$.

Propriétés

• On a la formule $\partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi )$.

Elle implique que le cap-produit d'un cycle avec un cocycle est un cycle ; le cap-produit d'un cycle et d'un cobord est un bord ; et le cap-produit d'un bord et d'un cocycle est un bord.

Ceci permet de définir un cap-produit en homologie et cohomologie :

$\frown \;:H_{p}(X;A)\times H^{q}(X;A)\rightarrow H_{p-q}(X;A).$

• Le cap-produit et le cup-produit sont reliés par la relation$\psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )$où$\sigma :\Delta ^{p+q}\rightarrow X$, $\psi \in C^{q}(X;A){\text{ et }}\varphi \in C^{p}(X;A).$

Dualité de Poincaré

Théorème —  Si M est une variété fermée orientable de dimension n de classe fondamentale (en) $[M]\in H_{n}(M;A)$, alors l'application $D:H^{k}(M;A)\rightarrow H_{n-k}(M;A)$ définie par $D(\alpha )=[M]\frown \alpha$ est un isomorphisme pour tout k.

Référence

(en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, CUP, 2001, xii+544 (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 239-241