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計算は数と他の記号に対する操作であり，新たな数学的記述へと導くものである．これら他の記号は数を表すための文字であってもよい．例えば，ある特定の問題を解こうと思ったとき，Xを問題の条件に見合うような任意の数を表すとしても良い．また数を表す記号上でどのような演算を行うかを表す記号もある．もっとも一般的なものとして，+, -, x, と / （訳注：÷）がある（これ以外にもある）．演算 + と - は互いに逆であり，x と / も同様である．すなわち，一方の演算は他方の演算結果を元に戻すこととなる．式 a/b は「量bと比較したときの量a」または「aをbで割ったときに得られる数」または「サイズ1/bをa個分」を意味する．a(b + c)における括弧はbとcの和にaをかけよ，と言っている．数学者は数の系について，その性質と関係を発見しようと，また正しい結果を得るための数式記号を操作するための規則を工夫しようと研究を行っている．

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Numbers have many different uses, some of which are not quantitative or strictly logical. In counting, for example, zero has a special meaning of nothing. Yet, on the common temperature scale, zero is only an arbitrary position and does not mean an absence of temperature (or of anything else). Numbers can be used to put things in an order and to indicate only which is higher or lower than others―not to specify by how much (for example, the order of winners in a race, street addresses, or scores on psychological tests for which numerical differences have no uniform meaning). And numbers are commonly used simply to identify things without any meaningful order, as in telephone numbers and as used on athletic shirts and license plates.

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数にはたくさんの異なった利用法があり，量に関するものではなく真に論理的なものもある．たとえば物を数える際，ゼロは「何もない」という特別な意味を持つ．しかし，普通温度計ではゼロは単なる目盛りのひとつであり，温度が存在しないこと（もしくは他の何か）を示すものではない．数はものをある順番に従って置くのに使われたり，それが他のものより大きいのか小さいのかを示すだけのために―その値自体を示すためではなく―用いられたりもする．例えばレースにおける順位や，住所の番地，スコア値自体の違いがなんら統一された意味を持たないような心理テストの結果などがその例である．そしてまた，なんら意味のある順番とは関係なく単に区別だけのために数が使われることもごく普通にある．例えば電話番号や体操着のゼッケン番号，ナンバープレートなどはそうである．

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Aside from their application to the world of everyday experience, numbers themselves are interesting. Since earliest history, people have asked such questions as, Is there a largest number? A smallest number? Can every possible number be obtained by dividing some whole number by another? And some numbers, such as the ratio of a circle's circumference to its diameter (pi), catch the fancy of many people, not just mathematicians.

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日々のそのような数の使い方を離れて，数それ自体面白いものである．有史以来人間はさまざまな問いを発し続けてきた．曰く，もっとも大きな数は？小さな数は？どんな数もある整数をもうひとつの整数で割った形で表すことができるのか？円における円周長と直径の比（円周率）のような，いくつかの数は数学者だけでなく多くの人々の心をとらえてきた．